Номер 300, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 300, страница 44.

Условие.

300. H Определите минимальную скорость, которую надо сообщить телу на поверхности Луны, чтобы оно вышло за пределы лунного притяжения.

Решение.

Дано:

Масса Луны: $M_Л = 7.342 \cdot 10^{22}$ кг

Радиус Луны: $R_Л = 1737.4$ км

Гравитационная постоянная: $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Перевод в систему СИ:

$R_Л = 1737.4 \cdot 10^3$ м = $1.7374 \cdot 10^6$ м

Найти:

$v_{min}$ — минимальная скорость для преодоления лунного притяжения.

Решение:

Минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу на поверхности небесного тела для преодоления его гравитационного притяжения, называется второй космической скоростью или скоростью убегания. Чтобы тело вышло за пределы лунного притяжения, его полная механическая энергия должна быть не меньше нуля. В минимальном случае она равна нулю. Полная механическая энергия тела $\text{E}$ складывается из его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$E = E_k + E_p$

Кинетическая энергия тела массой $\text{m}$ со скоростью $\text{v}$ определяется как $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Гравитационная потенциальная энергия в поле тяготения Луны на расстоянии $\text{R}$ от её центра равна $E_p = -G\frac{M_Лm}{R}$.

По закону сохранения энергии, полная энергия тела на поверхности Луны должна быть равна его полной энергии на бесконечном удалении. На бесконечном удалении от Луны, где её притяжение стремится к нулю, потенциальная энергия равна нулю. Минимальная начальная скорость соответствует случаю, когда на бесконечности скорость тела также обращается в ноль, а значит и кинетическая энергия тоже равна нулю. Таким образом, полная энергия на бесконечности равна нулю.

$E_{конечная} = 0$

Энергия тела на поверхности Луны (при $R=R_Л$ и $v=v_{min}$):

$E_{начальная} = \frac{mv_{min}^2}{2} - G\frac{M_Лm}{R_Л}$

Приравниваем начальную и конечную энергии:

$\frac{mv_{min}^2}{2} - G\frac{M_Лm}{R_Л} = 0$

Сократим массу тела $\text{m}$:

$\frac{v_{min}^2}{2} = G\frac{M_Л}{R_Л}$

Отсюда выразим искомую скорость $v_{min}$:

$v_{min} = \sqrt{\frac{2GM_Л}{R_Л}}$

Подставим числовые значения:

$v_{min} = \sqrt{\frac{2 \cdot (6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{Н·м²/кг²}) \cdot (7.342 \cdot 10^{22} \, \text{кг})}{1.7374 \cdot 10^6 \, \text{м}}}$

$v_{min} = \sqrt{\frac{9.799 \cdot 10^{11}}{1.7374 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5.640 \cdot 10^5}$ (м/с)

$v_{min} \approx 751$ м/с. (Ошибка в расчете, давайте пересчитаем)

$v_{min} = \sqrt{56.40 \cdot 10^4} = \sqrt{56.40} \cdot 10^2 \approx 7.51 \cdot 10^2 = 751$ м/с. Нет, степень не та.

$v_{min} = \sqrt{5.640 \cdot 10^5} = \sqrt{56.40 \cdot 10^4} = 7.51 \cdot 10^2$. Снова ошибка.

$v_{min} = \sqrt{5.640 \times 10^5} = \sqrt{56.40 \times 10^4} = \sqrt{5.640 \times 10^6}$

$v_{min} = \sqrt{\frac{9.799 \times 10^{11}}{1.7374 \times 10^6}} = \sqrt{5.640 \times 10^5}$ м/с.

$v_{min} \approx \sqrt{564000} \approx 751$ м/с. Все еще неправильно.

Вернемся к степеням: $10^{11} / 10^6 = 10^5$.

$v_{min}^2 = 5.640 \cdot 10^5$ м²/с²

$v_{min} = \sqrt{5.640 \cdot 10^5} = \sqrt{56.40 \cdot 10^4} = \sqrt{56.40} \cdot 10^2 \approx 7.51 \cdot 10^2 = 751$ м/с.

Давайте пересчитаем вычисления. $2 \cdot 6.674 \cdot 7.342 = 97.99$ $M_Л = 7.342 \cdot 10^{22}$ $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ $R_Л = 1.7374 \cdot 10^6$ $v_{min}^2 = \frac{2 \cdot 6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 7.342 \cdot 10^{22}}{1.7374 \cdot 10^6} = \frac{97.99 \cdot 10^{11}}{1.7374 \cdot 10^6} \approx 56.40 \cdot 10^5 = 5.640 \cdot 10^6$ м²/с² $v_{min} = \sqrt{5.640 \cdot 10^6} = \sqrt{5.640} \cdot 10^3 \approx 2.375 \cdot 10^3$ м/с

$v_{min} \approx 2375$ м/с

Это значение можно округлить и выразить в километрах в секунду:

$v_{min} \approx 2.4$ км/с

Ответ: Минимальная скорость, которую надо сообщить телу на поверхности Луны, чтобы оно вышло за пределы лунного притяжения, составляет примерно 2.4 км/с.