Номер 303, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 303, страница 44.

Условие.

303. [863] Чему будет равна вторая космическая скорость, если тело запускают с высоты $3R_З$ от поверхности Земли?

Решение.

Дано:

Высота запуска над поверхностью Земли: $h = 3R_З$, где $R_З$ - радиус Земли.

Вторая космическая скорость у поверхности Земли: $v_{II} \approx 11.2 \, \text{км/с}$.

Найти:

Вторую космическую скорость $v'_{II}$ на высоте $\text{h}$.

Решение:

Вторая космическая скорость (или скорость убегания) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу на определённом расстоянии от центра гравитирующего объекта, чтобы оно преодолело его гравитационное притяжение и удалилось на бесконечность.

Эта скорость определяется из закона сохранения энергии. Для того чтобы тело покинуло гравитационное поле, его полная механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной) должна быть не меньше нуля. В предельном случае она равна нулю.

$E_{полная} = E_{кинетическая} + E_{потенциальная} = 0$

$\frac{m(v'_{II})^2}{2} + \left(- G\frac{M_З m}{r}\right) = 0$

где $\text{m}$ — масса запускаемого тела, $M_З$ — масса Земли, $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{r}$ — расстояние от центра Земли до тела.

Из этого уравнения можно выразить скорость $v'_{II}$:

$\frac{m(v'_{II})^2}{2} = G\frac{M_З m}{r}$

$(v'_{II})^2 = \frac{2GM_З}{r}$

$v'_{II} = \sqrt{\frac{2GM_З}{r}}$

В условии задачи тело запускают с высоты $h = 3R_З$ от поверхности Земли. Следовательно, общее расстояние от центра Земли до тела составляет:

$r = R_З + h = R_З + 3R_З = 4R_З$

Подставим это значение расстояния в формулу для второй космической скорости:

$v'_{II} = \sqrt{\frac{2GM_З}{4R_З}}$

Стандартная вторая космическая скорость $v_{II}$ рассчитывается для старта с поверхности Земли, то есть при $r = R_З$:

$v_{II} = \sqrt{\frac{2GM_З}{R_З}}$

Теперь выразим искомую скорость $v'_{II}$ через известную скорость $v_{II}$:

$v'_{II} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{2GM_З}{R_З}} = \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \sqrt{\frac{2GM_З}{R_З}} = \frac{1}{2} v_{II}$

Таким образом, вторая космическая скорость на высоте, равной трем радиусам Земли, в два раза меньше второй космической скорости у поверхности.

Зная, что $v_{II} \approx 11.2 \, \text{км/с}$, найдем числовое значение для $v'_{II}$:

$v'_{II} = \frac{1}{2} \cdot 11.2 \, \text{км/с} = 5.6 \, \text{км/с}$

Ответ: вторая космическая скорость на высоте $3R_З$ от поверхности Земли будет равна $5.6 \, \text{км/с}$.