Номер 310, страница 45, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 310, страница 45.

Условие.

310. H Через блок массой 1 кг перекинута нерастяжимая нить, к концам которой привязаны два груза массами 2 и 4 кг (рис. 64). Под грузом 2 расположена подставка, удерживающая грузы в равновесии. Разность высот, на которых находятся грузы, 1 м. Подставку осторожно убирают, и грузы начинают двигаться. Определите скорости грузов в тот момент, когда они окажутся на одной высоте. Массой нити и трением в оси блока можно пренебречь. Примите $g = 9,8 \text{ м/с}^2$. Сравните ответ с ответом задачи 148 (129).

Решение.

Дано

$m_{блок} = 1 \text{ кг}$
$m_1 = 2 \text{ кг}$
$m_2 = 4 \text{ кг}$
$\Delta h = 1 \text{ м}$
$g = 9.8 \text{ м/с}^2$
Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

$\text{v}$ — скорость грузов в момент, когда они окажутся на одной высоте.

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Система, состоящая из двух грузов, нити и блока, является замкнутой, так как трение и масса нити пренебрежимо малы. Полная механическая энергия системы в начальный момент времени (состояние 1) равна полной механической энергии в конечный момент времени (состояние 2).

$E_1 = E_2$

$E_{п1} + E_{к1} = E_{п2} + E_{к2}$

Состояние 1 (начальное): Грузы находятся в покое, следовательно, их начальная кинетическая энергия равна нулю ($E_{к1} = 0$). За нулевой уровень потенциальной энергии примем высоту, на которой грузы окажутся в конце движения.

Поскольку начальная разность высот $\Delta h = 1 \text{ м}$, то, чтобы оказаться на одной высоте, более тяжелый груз $m_2$ должен опуститься на расстояние $s = \frac{\Delta h}{2} = 0.5 \text{ м}$, а более легкий груз $m_1$ — подняться на такое же расстояние $\text{s}$.

Таким образом, начальная высота груза $m_1$ относительно нулевого уровня равна $h_1 = s = \frac{\Delta h}{2}$, а начальная высота груза $m_2$ равна $h_2 = -s = -\frac{\Delta h}{2}$.

Начальная потенциальная энергия системы:

$E_{п1} = m_1 g h_1 + m_2 g h_2 = m_1 g \frac{\Delta h}{2} - m_2 g \frac{\Delta h}{2} = (m_1 - m_2) g \frac{\Delta h}{2}$.

Поскольку система движется в сторону более тяжелого груза, то работа силы тяжести будет положительной, и изменение потенциальной энергии будет равно: $\Delta E_п = (m_2 - m_1) g s = (m_2 - m_1) g \frac{\Delta h}{2}$. Эта убыль потенциальной энергии переходит в кинетическую.

Полная начальная энергия: $E_1 = (m_2 - m_1) g \frac{\Delta h}{2}$.

Состояние 2 (конечное): Оба груза находятся на одной высоте (нулевой уровень), поэтому их потенциальная энергия $E_{п2} = 0$. Грузы движутся с одинаковой по модулю скоростью $\text{v}$, и блок вращается.

Кинетическая энергия двух грузов: $E_{к,грузы} = \frac{1}{2}m_1 v^2 + \frac{1}{2}m_2 v^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$.

Кинетическая энергия вращающегося блока (считаем его сплошным диском, момент инерции $I = \frac{1}{2}m_{блок}R^2$):

$E_{к,блок} = \frac{1}{2}I \omega^2$, где $\omega = \frac{v}{R}$ — угловая скорость.

$E_{к,блок} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}m_{блок}R^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2 = \frac{1}{4}m_{блок}v^2$.

Полная конечная кинетическая энергия системы:

$E_{к2} = E_{к,грузы} + E_{к,блок} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 + \frac{1}{4}m_{блок}v^2$.

Приравняем начальную и конечную энергии:

$(m_2 - m_1) g \frac{\Delta h}{2} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 + \frac{1}{4}m_{блок}v^2$

Вынесем $v^2$ за скобки:

$(m_2 - m_1) g \frac{\Delta h}{2} = v^2 \left( \frac{m_1 + m_2}{2} + \frac{m_{блок}}{4} \right)$

Выразим скорость $\text{v}$:

$v^2 = \frac{(m_2 - m_1) g \frac{\Delta h}{2}}{\frac{2(m_1 + m_2) + m_{блок}}{4}} = \frac{2(m_2 - m_1) g \Delta h}{2(m_1 + m_2) + m_{блок}}$

$v = \sqrt{\frac{2(m_2 - m_1) g \Delta h}{2(m_1 + m_2) + m_{блок}}}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{2(4 \text{ кг} - 2 \text{ кг}) \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м}}{2(2 \text{ кг} + 4 \text{ кг}) + 1 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \cdot 9.8}{2 \cdot 6 + 1}} \text{ м/с} = \sqrt{\frac{39.2}{13}} \text{ м/с} \approx \sqrt{3.015} \text{ м/с} \approx 1.74 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость грузов в тот момент, когда они окажутся на одной высоте, составляет приблизительно $1.74 \text{ м/с}$.