Номер 307, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 307, страница 44.

Условие.

307. [867] Чему равна работа двигателя космического корабля867 массой 2 т при его переводе с орбиты, находящейсяна расстоянии 100 км от поверхности Земли, на болеевысокую орбиту, находящуюся на расстоянии 300 км?

Решение.

Дано:

Масса космического корабля: $m = 2 \text{ т}$

Начальная высота орбиты: $h_1 = 100 \text{ км}$

Конечная высота орбиты: $h_2 = 300 \text{ км}$

Справочные данные:

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Масса Земли: $M_З \approx 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Радиус Земли: $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$m = 2 \cdot 10^3 \text{ кг}$

$h_1 = 100 \cdot 10^3 \text{ м} = 1 \cdot 10^5 \text{ м}$

$h_2 = 300 \cdot 10^3 \text{ м} = 3 \cdot 10^5 \text{ м}$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Работу двигателя $\text{A}$.

Решение:

Работа, совершаемая двигателем космического корабля при переходе с одной орбиты на другую, равна изменению его полной механической энергии:

$A = \Delta E = E_2 - E_1$

где $E_1$ и $E_2$ — полные механические энергии корабля на начальной и конечной орбитах соответственно.

Полная механическая энергия спутника на круговой орбите складывается из его кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий:

$E = E_k + E_p$

Потенциальная энергия корабля в гравитационном поле Земли на расстоянии $\text{r}$ от её центра равна:

$E_p = -G \frac{M_З m}{r}$

Для нахождения кинетической энергии воспользуемся вторым законом Ньютона. Сила всемирного тяготения сообщает кораблю центростремительное ускорение:

$F_g = F_{ц.с.} \implies G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

Отсюда можно выразить квадрат скорости: $v^2 = G \frac{M_З}{r}$.

Тогда кинетическая энергия равна:

$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(G \frac{M_З}{r}\right) = G \frac{M_З m}{2r}$

Полная механическая энергия на орбите радиусом $\text{r}$ составляет:

$E = E_k + E_p = G \frac{M_З m}{2r} - G \frac{M_З m}{r} = -G \frac{M_З m}{2r}$

Таким образом, работа двигателя равна:

$A = E_2 - E_1 = \left(-G \frac{M_З m}{2r_2}\right) - \left(-G \frac{M_З m}{2r_1}\right) = G \frac{M_З m}{2} \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$

Радиусы орбит $r_1$ и $r_2$ отсчитываются от центра Земли, поэтому:

$r_1 = R_З + h_1 = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 1 \cdot 10^5 \text{ м} = 6.5 \cdot 10^6 \text{ м}$

$r_2 = R_З + h_2 = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 3 \cdot 10^5 \text{ м} = 6.7 \cdot 10^6 \text{ м}$

Подставим числовые значения в формулу для работы:

$A = \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot 2 \cdot 10^3}{2} \left(\frac{1}{6.5 \cdot 10^6} - \frac{1}{6.7 \cdot 10^6}\right)$

$A = 4.002 \cdot 10^{17} \left(\frac{6.7 - 6.5}{6.5 \cdot 6.7 \cdot 10^6}\right) = 4.002 \cdot 10^{17} \left(\frac{0.2}{43.55 \cdot 10^6}\right)$

$A = \frac{0.8004 \cdot 10^{17}}{43.55 \cdot 10^6} \approx 0.01838 \cdot 10^{11} \text{ Дж} \approx 1.84 \cdot 10^9 \text{ Дж}$

Переведем в гигаджоули: $1.84 \cdot 10^9 \text{ Дж} = 1.84 \text{ ГДж}$.

Ответ: $1.84 \cdot 10^9 \text{ Дж}$ (или 1.84 ГДж).