Номер 312, страница 45, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 312, страница 45.

Условие.

312. H Два тела массами $m_1$ и $m_2$ связаны нитью, перекинутой через блок массой $\text{m}$ (рис. 66). Определите работу силы трения за время $\text{t}$ после начала движения системы. Нить не проскальзывает по блоку. Массой нити и трением в оси блока можно пренебречь. Коэффициент трения между телом массой $m_1$ и поверхностью стола равен $\mu$.

Рис. 66

Решение.

Дано:

Масса первого тела: $m_1$
Масса второго тела: $m_2$
Масса блока: $\text{m}$
Коэффициент трения: $\mu$
Время движения: $\text{t}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Работу силы трения $A_{тр}$.

Решение:

Работа силы трения $A_{тр}$ определяется как произведение модуля силы трения $F_{тр}$, модуля перемещения $\text{s}$ и косинуса угла между вектором силы и вектором перемещения. Так как сила трения направлена против движения, угол равен $180^\circ$, и его косинус равен -1.

$A_{тр} = F_{тр} \cdot s \cdot \cos(180^\circ) = -F_{тр} \cdot s$

Сила трения скольжения, действующая на тело массой $m_1$, равна $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ – сила нормальной реакции. На горизонтальной поверхности $N = m_1g$. Таким образом:

$F_{тр} = \mu m_1 g$

Система начинает движение из состояния покоя, следовательно, путь, пройденный телом $m_1$ за время $\text{t}$, равен:

$s = \frac{at^2}{2}$, где $\text{a}$ – ускорение системы.

Для нахождения ускорения запишем уравнения движения для тел $m_1$, $m_2$ и блока, используя второй закон Ньютона.

1. Для тела $m_1$, движущегося по горизонтали (ось $\text{X}$ направлена вправо):

$T_1 - F_{тр} = m_1 a \implies T_1 - \mu m_1 g = m_1 a$

2. Для тела $m_2$, движущегося вертикально (ось $\text{Y}$ направлена вниз):

$m_2 g - T_2 = m_2 a$

Здесь $T_1$ и $T_2$ – силы натяжения нити. Так как блок имеет массу и вращается, $T_1 \neq T_2$.

3. Для вращения блока (сплошного цилиндра) с моментом инерции $I = \frac{mR^2}{2}$:

$M_{нетто} = I \varepsilon$, где $M_{нетто} = (T_2 - T_1)R$ – вращающий момент, а $\varepsilon = \frac{a}{R}$ – угловое ускорение.

$(T_2 - T_1)R = (\frac{mR^2}{2})(\frac{a}{R})$

$T_2 - T_1 = \frac{ma}{2}$

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Выразим $T_1$ и $T_2$ из первых двух уравнений и подставим в третье:

$T_1 = m_1 a + \mu m_1 g$

$T_2 = m_2 g - m_2 a$

$(m_2 g - m_2 a) - (m_1 a + \mu m_1 g) = \frac{ma}{2}$

Сгруппируем члены, чтобы найти ускорение $\text{a}$:

$m_2 g - \mu m_1 g = m_1 a + m_2 a + \frac{ma}{2}$

$g(m_2 - \mu m_1) = a(m_1 + m_2 + \frac{m}{2})$

$a = \frac{g(m_2 - \mu m_1)}{m_1 + m_2 + m/2}$

Теперь найдем путь $\text{s}$:

$s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \frac{g(m_2 - \mu m_1)}{m_1 + m_2 + m/2} t^2 = \frac{g(m_2 - \mu m_1)t^2}{2(m_1 + m_2 + m/2)} = \frac{g(m_2 - \mu m_1)t^2}{2m_1 + 2m_2 + m}$

Наконец, подставим $F_{тр}$ и $\text{s}$ в формулу для работы силы трения:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot s = -(\mu m_1 g) \cdot \left( \frac{g(m_2 - \mu m_1)t^2}{2m_1 + 2m_2 + m} \right)$

$A_{тр} = - \frac{\mu m_1 g^2 t^2 (m_2 - \mu m_1)}{2m_1 + 2m_2 + m}$

Ответ: $A_{тр} = - \frac{\mu m_1 g^2 t^2 (m_2 - \mu m_1)}{2m_1 + 2m_2 + m}$