Номер 317, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 317, страница 46.

Условие.

317. H Однородный стержень длиной 60 см может вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Какую минимальную скорость надо сообщить свободному концу стержня, чтобы он сделал полный оборот?

Решение.

Дано:

Длина стержня, $l = 60$ см

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$l = 0,6$ м

Найти:

$v_{min}$ - ?

Решение:

Для того чтобы стержень совершил полный оборот, его начальной кинетической энергии должно хватить для подъема его центра масс в самую верхнюю точку траектории. Воспользуемся законом сохранения механической энергии, так как на стержень действуют только консервативная сила тяжести и сила реакции опоры в оси вращения, работа которой равна нулю.

Закон сохранения механической энергии: $E_{к1} + E_{п1} = E_{к2} + E_{п2}$, где 1 - начальное состояние (стержень внизу), 2 - конечное состояние (стержень вверху).

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение центра масс стержня. Центр масс однородного стержня находится на его середине, т.е. на расстоянии $l/2$ от оси вращения.

В начальном положении (стержень внизу) потенциальная энергия $E_{п1} = 0$. Начальная кинетическая энергия стержня является энергией вращательного движения: $E_{к1} = \frac{1}{2}I\omega^2$, где $\text{I}$ - момент инерции, а $\omega$ - начальная угловая скорость.

Минимальная скорость соответствует случаю, когда в верхней точке стержень на мгновение останавливается, то есть его конечная кинетическая энергия $E_{к2} = 0$.

В верхнем положении центр масс стержня поднимется на высоту $\text{h}$, равную диаметру окружности, по которой он движется: $h = 2 \cdot (l/2) = l$. Потенциальная энергия в этом положении будет равна $E_{п2} = mgh = mgl$.

Подставляем все выражения в закон сохранения энергии:

$\frac{1}{2}I\omega^2 + 0 = 0 + mgl$

Момент инерции однородного стержня массой $\text{m}$ и длиной $\text{l}$ относительно оси, проходящей через его конец, равен $I = \frac{1}{3}ml^2$. Подставим это в уравнение:

$\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}ml^2\right) \omega^2 = mgl$

$\frac{1}{6}ml^2\omega^2 = mgl$

Сократим обе части уравнения на массу $\text{m}$ и на длину $\text{l}$:

$\frac{1}{6}l\omega^2 = g$

Отсюда выразим начальную угловую скорость:

$\omega = \sqrt{\frac{6g}{l}}$

Линейная скорость $\text{v}$ свободного конца стержня связана с угловой скоростью $\omega$ соотношением $v = \omega l$.

Подставим выражение для $\omega$:

$v = l \cdot \sqrt{\frac{6g}{l}} = \sqrt{l^2 \cdot \frac{6g}{l}} = \sqrt{6gl}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:

$v = \sqrt{6 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,6 \text{ м}} = \sqrt{36 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 6 \text{ м/с}$

Ответ:

Минимальная скорость, которую надо сообщить свободному концу стержня, чтобы он сделал полный оборот, равна 6 м/с.