Номер 324, страница 47, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 324, страница 47.

Условие.

324. H На наклонную плоскость с одинаковыми скоростями вкатываются кольцо, однородный диск и шар с одинаковыми радиусами. Найдите отношение максимальных высот, на которые могут подняться тела. Работой силы трения можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Начальные скорости тел одинаковы: $v_к = v_д = v_ш = v$
Радиусы тел одинаковы: $R_к = R_д = R_ш = R$
Тела: кольцо (к), однородный диск (д), шар (ш)
Работа силы трения пренебрежимо мала: $A_{тр} \approx 0$

Найти:

$h_к : h_д : h_ш$ - отношение максимальных высот подъема тел.

Решение:

Поскольку работой силы трения можно пренебречь, для каждого из тел будет выполняться закон сохранения полной механической энергии. В начальный момент времени (у основания наклонной плоскости, $h=0$) тела обладают кинетической энергией поступательного и вращательного движения. В конечный момент времени (в точке максимального подъема на высоту $\text{h}$) тела останавливаются, и их полная механическая энергия становится равной потенциальной энергии.

Запишем закон сохранения энергии в общем виде:

$E_{нач} = E_{кон}$

$E_{к.пост} + E_{к.вращ} = E_{п}$

$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = mgh$

где $\text{m}$ – масса тела, $\text{v}$ – начальная скорость центра масс, $\text{I}$ – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс, $\omega$ – начальная угловая скорость, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{h}$ – максимальная высота подъема.

Для качения без проскальзывания линейная скорость $\text{v}$ и угловая скорость $\omega$ связаны соотношением $v = \omega R$, откуда $\omega = \frac{v}{R}$.

Момент инерции для тел вращения можно представить в виде $I = \beta m R^2$, где $\beta$ – безразмерный коэффициент, зависящий от формы тела и распределения массы.

Подставим эти выражения в закон сохранения энергии:

$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\beta m R^2)(\frac{v}{R})^2 = mgh$

$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\beta m v^2 = mgh$

Сократим массу $\text{m}$:

$\frac{1}{2}v^2(1 + \beta) = gh$

Отсюда выразим максимальную высоту подъема $\text{h}$:

$h = \frac{v^2(1 + \beta)}{2g}$

Так как начальная скорость $\text{v}$ и ускорение свободного падения $\text{g}$ одинаковы для всех тел, высота подъема зависит только от коэффициента $\beta$.

Найдем значения коэффициента $\beta$ для каждого тела:

• Для кольца (или тонкостенного цилиндра) момент инерции $I_к = mR^2$, следовательно, $\beta_к = 1$.
• Для однородного диска (или сплошного цилиндра) момент инерции $I_д = \frac{1}{2}mR^2$, следовательно, $\beta_д = \frac{1}{2}$.
• Для сплошного шара момент инерции $I_ш = \frac{2}{5}mR^2$, следовательно, $\beta_ш = \frac{2}{5}$.

Теперь найдем высоты подъема для каждого тела:

$h_к = \frac{v^2(1 + 1)}{2g} = \frac{2v^2}{2g} = \frac{v^2}{g}$

$h_д = \frac{v^2(1 + \frac{1}{2})}{2g} = \frac{v^2 \cdot \frac{3}{2}}{2g} = \frac{3v^2}{4g}$

$h_ш = \frac{v^2(1 + \frac{2}{5})}{2g} = \frac{v^2 \cdot \frac{7}{5}}{2g} = \frac{7v^2}{10g}$

Найдем искомое отношение высот $h_к : h_д : h_ш$:

$h_к : h_д : h_ш = \frac{v^2}{g} : \frac{3v^2}{4g} : \frac{7v^2}{10g}$

Сократим общий множитель $\frac{v^2}{g}$:

$1 : \frac{3}{4} : \frac{7}{10}$

Чтобы получить отношение в целых числах, умножим все части на наименьшее общее кратное знаменателей (4 и 10), которое равно 20:

$(1 \cdot 20) : (\frac{3}{4} \cdot 20) : (\frac{7}{10} \cdot 20)$

$20 : 15 : 14$

Ответ: Отношение максимальных высот, на которые могут подняться кольцо, диск и шар, равно $20 : 15 : 14$.