Номер 330, страница 48, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 330, страница 48.

Условие.

330. [264] Через систему блоков перекинута нить, к одному из концов которой привязан груз массой $\text{m}$. Груз лежит на наклонной плоскости с углом $\alpha$ у основания (рис. 73). Коэффициент трения между поверхностями груза и плоскости равен $\mu$. Какой минимальной силой $\vec{F}_{\text{min}}$ можно удержать систему в равновесии?

Рис. 73

Решение.

Дано:

Масса груза $\text{m}$, угол наклона плоскости $\alpha$, коэффициент трения $\mu$.

Найти:

Минимальную силу $F_{min}$.

Решение:

Система находится в равновесии, следовательно, сумма всех сил, действующих на каждый ее элемент, равна нулю. Рассмотрим равновесие подвижного блока, к которому приложена сила $F_{min}$. На ось блока действует сила $F_{min}$, направленная вниз. Вверх на блок действуют две силы натяжения нити $\text{T}$ от двух участков нити. Из условия равновесия подвижного блока (пренебрегая его массой) следует:

$F_{min} = 2T$

Отсюда сила натяжения нити $\text{T}$ связана с приложенной силой $F_{min}$ соотношением:

$T = \frac{F_{min}}{2}$

Теперь рассмотрим равновесие груза массой $\text{m}$ на наклонной плоскости. Выберем систему координат, где ось $OX$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $OY$ – перпендикулярно плоскости. На груз действуют четыре силы: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, сила натяжения нити $\text{T}$ и сила трения $F_{тр}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на выбранные оси:

На ось $OY$: $N - mg \cos\alpha = 0$, следовательно, сила нормальной реакции $N = mg \cos\alpha$.

На ось $OX$: $T + F_{тр} - mg \sin\alpha = 0$.

Нас интересует минимальная сила $F_{min}$, способная удержать систему в равновесии. Минимальной силе $F_{min}$ соответствует минимальная сила натяжения нити $\text{T}$. Если сила натяжения будет меньше этого минимального значения, то проекция силы тяжести $mg \sin\alpha$ "перетянет" и груз начнет соскальзывать вниз. Таким образом, предельный случай, соответствующий $F_{min}$, — это когда груз находится на грани соскальзывания вниз. В этом состоянии сила трения покоя достигает своего максимального значения и направлена против возможного движения, то есть вверх по наклонной плоскости.

Максимальная сила трения покоя определяется как $F_{тр.макс} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Подставляем $F_{тр} = F_{тр.макс}$ в уравнение для оси $OX$:

$T_{min} + \mu mg \cos\alpha - mg \sin\alpha = 0$

Выразим отсюда минимальную силу натяжения нити $T_{min}$:

$T_{min} = mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = mg(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$

Теперь, используя связь между $F_{min}$ и $T_{min}$, находим искомую минимальную силу:

$F_{min} = 2T_{min} = 2mg(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$

Это выражение имеет физический смысл, только если $T_{min} \ge 0$, так как нить не может толкать. Если $mg(\sin\alpha - \mu \cos\alpha) \le 0$, то есть $\tan\alpha \le \mu$, это означает, что скатывающая сила $mg \sin\alpha$ меньше или равна максимальной силе трения покоя $\mu mg \cos\alpha$. В этом случае сила трения сама по себе способна удержать груз на наклонной плоскости без помощи силы натяжения нити ($T=0$). Следовательно, для удержания системы в равновесии не требуется прикладывать внешнюю силу.

Ответ: Минимальная сила $F_{min}$, которой можно удержать систему в равновесии, зависит от соотношения угла наклона $\alpha$ и коэффициента трения $\mu$:

1. Если $\tan\alpha \le \mu$, то сила трения достаточна для удержания груза, и $F_{min} = 0$.

2. Если $\tan\alpha > \mu$, то минимальная необходимая сила равна $F_{min} = 2mg(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$.