Номер 334, страница 49, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 334, страница 49.

Условие.

334. [268] С какой минимальной горизон268 тальной силой надо потянуть за верёвку, прикреплённую к верхнему основанию вертикально стоящего цилиндра массой $\text{m}$, чтобы опрокинуть его? Высота цилиндра $\text{h}$, диаметр основания $\text{D}$.

Решение.

Дано:

Масса цилиндра: $\text{m}$
Высота цилиндра: $\text{h}$
Диаметр основания: $\text{D}$

Найти:

Минимальная горизонтальная сила для опрокидывания: $F_{min}$

Решение:

Для того чтобы опрокинуть цилиндр, необходимо приложить горизонтальную силу $\text{F}$ к его верхнему основанию. Опрокидывание будет происходить вокруг края нижнего основания, который будет служить осью вращения (точкой опоры O).

В момент начала опрокидывания цилиндр находится в состоянии предельного равновесия. Условием равновесия является равенство моментов сил, вращающих тело по часовой и против часовой стрелки относительно точки опоры.

Рассмотрим моменты сил относительно точки опоры °(край основания цилиндра):

1. Приложенная горизонтальная сила $\text{F}$ создает опрокидывающий момент $M_F$. Плечо этой силы равно высоте цилиндра $\text{h}$. Момент равен:
$M_F = F \cdot h$

2. Сила тяжести $P = mg$ создает восстанавливающий (удерживающий) момент $M_g$, который препятствует опрокидыванию. Сила тяжести приложена к центру масс цилиндра, который для однородного цилиндра находится на его оси симметрии на высоте $h/2$. Плечо силы тяжести относительно точки опоры °равно радиусу основания $R = D/2$. Момент равен:
$M_g = mg \cdot R = mg \cdot \frac{D}{2}$

Сила реакции опоры и сила трения в предельном случае приложены к точке опоры O, поэтому их моменты относительно этой точки равны нулю.

Цилиндр начнет опрокидываться, когда опрокидывающий момент станет равен восстанавливающему моменту. Минимальная сила $F_{min}$ соответствует этому равенству:
$M_F = M_g$
$F_{min} \cdot h = mg \cdot \frac{D}{2}$

Выразим из этого уравнения искомую минимальную силу $F_{min}$:
$F_{min} = \frac{mgD}{2h}$

Это решение предполагает, что цилиндр опрокинется, а не начнет скользить.

Ответ: $F_{min} = \frac{mgD}{2h}$.