Номер 336, страница 49, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 336, страница 49.

Условие.

336. [270] Определите максимальную массу $m_{\Gamma}$ груза, который можно подвесить к концу балки (рис. 78), закреплённой в стене, если стена выдерживает максимальную силу давления $F = 6000 \text{ Н}$. Масса балки $m = 50 \text{ кг}$, её длина $l = 2,5 \text{ м}$, глубина погружения балки в стену $l_0 = 0,5 \text{ м}$.

Рис. 78

Решение.

Дано:

Максимальная сила давления, которую выдерживает стена, $F = 6000$ Н.
Масса балки, $m = 50$ кг.
Длина выступающей части балки, $l = 2,5$ м.
Глубина погружения балки в стену, $l_0 = 0,5$ м.

Найти:

Максимальную массу груза $m_г$.

Решение:

Балка с грузом находится в состоянии статического равновесия. Для этого необходимо выполнение двух условий:

1. Равенство нулю векторной суммы всех действующих на тело сил.
2. Равенство нулю суммы моментов всех сил относительно любой оси вращения.

Рассмотрим силы, действующие на балку в вертикальном направлении:
- Сила тяжести груза $P_г = m_г g$, приложенная к концу балки.
- Сила тяжести самой балки $P_б = m g$. Балка однородна, поэтому эта сила приложена в ее центре масс.
- Силы реакции со стороны стены. Балка стремится повернуться по часовой стрелке. В месте заделки в стену на балку действуют силы реакции. Условно их можно свести к двум: сила $F_1$, направленная вверх, в точке опоры на внешнем нижнем краю стены, и сила $F_2$, направленная вниз, в точке упора на внутреннем верхнем краю стены.

Запишем первое условие равновесия для вертикальной оси (ось Y направим вверх):
$\sum F_y = F_1 - F_2 - P_б - P_г = 0$
$F_1 = F_2 + m g + m_г g$
Из этого соотношения видно, что сила реакции $F_1$ всегда больше силы $F_2$. Следовательно, предельной силой, которую выдерживает стена, является именно $F_1$. По условию, максимальное значение этой силы $F = 6000$ Н. Таким образом, $F_1 = F$.

Для нахождения массы груза $m_г$ воспользуемся вторым условием равновесия (правилом моментов). В качестве оси вращения выберем точку приложения силы $F_2$ (внутренний край заделки). Это позволит исключить момент силы $F_2$ из уравнения.

Сумма моментов сил относительно этой точки равна нулю. Моменты, вращающие балку против часовой стрелки, будем считать положительными, а по часовой стрелке — отрицательными.
$\sum M = M(F_1) + M(P_б) + M(P_г) = 0$

Определим плечи сил относительно выбранной оси вращения:
- Плечо силы $F_1$ равно глубине заделки $l_0$.
- Центр масс однородной балки находится на середине ее полной длины $L = l+l_0$. Плечо силы тяжести балки $P_б$ равно расстоянию от оси вращения до центра масс, то есть $(l+l_0)/2$.
- Плечо силы тяжести груза $P_г$ равно расстоянию от оси до конца балки, то есть $l+l_0$.

Уравнение моментов имеет вид:
$F_1 \cdot l_0 - P_б \cdot \frac{l+l_0}{2} - P_г \cdot (l+l_0) = 0$
Подставим выражения для сил $F_1=F$, $P_б = mg$, $P_г = m_г g$:
$F \cdot l_0 - m g \frac{l+l_0}{2} - m_г g (l+l_0) = 0$

Выразим из этого уравнения искомую массу $m_г$:
$m_г g (l+l_0) = F l_0 - m g \frac{l+l_0}{2}$
$m_г = \frac{F l_0 - m g \frac{l+l_0}{2}}{g(l+l_0)} = \frac{F l_0}{g(l+l_0)} - \frac{m}{2}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ и подставим числовые значения:
$l+l_0 = 2,5 \text{ м} + 0,5 \text{ м} = 3,0 \text{ м}$
$m_г = \frac{6000 \text{ Н} \cdot 0,5 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2 \cdot 3,0 \text{ м}} - \frac{50 \text{ кг}}{2}$
$m_г = \frac{3000}{30} \text{ кг} - 25 \text{ кг}$
$m_г = 100 \text{ кг} - 25 \text{ кг} = 75 \text{ кг}$

Ответ: максимальная масса груза, который можно подвесить к концу балки, составляет 75 кг.