Номер 333, страница 49, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 333, страница 49.

Условие.

333. [267] К стене прикреплена нить, намотанная на катушку (рис. 76). Катушка висит, касаясь стены, причём нить составляет со стеной угол $\alpha = 30^\circ$. Внутренний и внешний радиусы катушки $r = 1$ см и $R = 6$ см. Определите минимальный коэффициент трения между катушкой и стеной, при котором катушка будет неподвижна.

Рис. 76

Решение.

Дано

Угол нити со стеной: $\alpha = 30^\circ$
Внутренний радиус катушки: $r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
Внешний радиус катушки: $R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Минимальный коэффициент трения: $\mu_{min}$

Решение:

Катушка находится в равновесии, следовательно, сумма всех сил, действующих на нее, равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой точки также равна нулю.

На катушку действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс катушки и направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити под углом $\alpha$ к вертикали.

3. Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ со стороны стены, направленная горизонтально от стены.

4. Сила трения покоя $F_{тр}$, направленная вертикально вверх вдоль стены, так как катушка под действием силы тяжести стремится соскользнуть вниз.

Для нахождения минимального коэффициента трения, при котором катушка будет неподвижна, сила трения покоя должна быть равна своему максимальному значению: $F_{тр} = \mu N$.

Запишем условия равновесия. Выберем систему координат с началом в центре катушки, осью OX, направленной горизонтально от стены, и осью OY, направленной вертикально вверх.

Условие равенства нулю суммы проекций всех сил на оси координат:

На ось OX: $N - T \sin\alpha = 0$ (1)

На ось OY: $F_{тр} + T \cos\alpha - mg = 0$ (2)

Запишем условие равенства нулю суммы моментов сил относительно центра катушки (точки O). Моменты создают сила натяжения $\text{T}$ (с плечом $\text{r}$) и сила трения $F_{тр}$ (с плечом $\text{R}$). Сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции $\text{N}$ приложены к центру катушки или их линии действия проходят через центр, поэтому их моменты равны нулю. Примем вращение против часовой стрелки за положительное направление.

$M_°= F_{тр} \cdot R - T \cdot r = 0$ (3)

Из уравнения (3) выразим силу натяжения $\text{T}$:

$T \cdot r = F_{тр} \cdot R \implies T = \frac{F_{тр} \cdot R}{r}$

Подставим это выражение для $\text{T}$ в уравнение (1):

$N = T \sin\alpha = \left(\frac{F_{тр} \cdot R}{r}\right) \sin\alpha$

Минимальный коэффициент трения $\mu$ определяется из соотношения $F_{тр} = \mu N$:

$\mu = \frac{F_{тр}}{N}$

Подставим в эту формулу полученное выражение для $\text{N}$:

$\mu = \frac{F_{тр}}{\frac{F_{тр} \cdot R \cdot \sin\alpha}{r}} = \frac{r}{R \sin\alpha}$

Как видно из формулы, искомый коэффициент трения не зависит от массы катушки.

Подставим числовые значения:

$\mu = \frac{1 \text{ см}}{6 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)} = \frac{1}{6 \cdot 0.5} = \frac{1}{3}$

$\mu \approx 0.333$

Ответ: Минимальный коэффициент трения равен $\frac{1}{3}$.