Номер 332, страница 49, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 332, страница 49.

Условие.

332. [266] Шарик прикреплён ниткой к палочке массой $\text{m}$ и длиной $\text{l}$, подвешенной горизонтально на кольце из проволоки (рис. 75). Определите, на сколько надо передвинуть кольцо, чтобы палочка оставалась расположенной горизонтально, если шарик погрузить в жидкость плотностью $\rho$. Масса шарика $m_0$, его объём $\text{V}$.

Рис. 75

Решение.

Дано:

Масса палочки: $\text{m}$
Длина палочки: $\text{l}$
Масса шарика: $m_0$
Объем шарика: $\text{V}$
Плотность жидкости: $\rho$

Найти:

$\Delta x$ — смещение кольца.

Решение:

Для того чтобы палочка оставалась в горизонтальном положении, необходимо, чтобы моменты сил, действующих на нее относительно точки подвеса (кольца), были равны. Это условие равновесия рычага.

1. Рассмотрим начальное состояние, когда шарик находится в воздухе.

На палочку действуют две силы, создающие вращающий момент: сила тяжести самой палочки $mg$, приложенная в ее центре масс (на расстоянии $l/2$ от левого конца), и сила тяжести шарика $m_0g$, приложенная на правом конце (на расстоянии $\text{l}$ от левого конца). Обозначим координату кольца (точки опоры) как $x_1$, отсчитывая от левого конца палочки.

Условие равновесия (равенство моментов сил):

$M_{палочки} = M_{шарика}$

$mg \cdot (x_1 - \frac{l}{2}) = m_0g \cdot (l - x_1)$

Сократив на $\text{g}$, получим:

$m(x_1 - \frac{l}{2}) = m_0(l - x_1)$

$mx_1 - \frac{ml}{2} = m_0l - m_0x_1$

$x_1(m + m_0) = l(m_0 + \frac{m}{2})$

$x_1 = \frac{l(m_0 + m/2)}{m + m_0}$

2. Рассмотрим конечное состояние, когда шарик погружен в жидкость.

На шарик теперь действует выталкивающая сила Архимеда $F_A = \rh°V g$. Сила натяжения нити, действующая на палочку, уменьшится и станет равной $T = m_0g - F_A = (m_0 - \rh°V)g$.

Чтобы палочка оставалась горизонтальной, кольцо нужно сдвинуть в новую точку с координатой $x_2$. Условие равновесия для нового положения:

$mg \cdot (x_2 - \frac{l}{2}) = (m_0 - \rh°V)g \cdot (l - x_2)$

Сократив на $\text{g}$:

$m(x_2 - \frac{l}{2}) = (m_0 - \rh°V)(l - x_2)$

$mx_2 - \frac{ml}{2} = m_0l - m_0x_2 - \rh°Vl + \rh°Vx_2$

$x_2(m + m_0 - \rh°V) = l(m_0 - \rh°V + \frac{m}{2})$

$x_2 = \frac{l(m_0 + m/2 - \rh°V)}{m + m_0 - \rh°V}$

3. Найдем, на сколько нужно передвинуть кольцо.

Искомое смещение равно разности конечной и начальной координат: $\Delta x = x_2 - x_1$.

$\Delta x = \frac{l(m_0 + m/2 - \rh°V)}{m + m_0 - \rh°V} - \frac{l(m_0 + m/2)}{m + m_0}$

Приведем к общему знаменателю $(m + m_0 - \rh°V)(m + m_0)$:

$\Delta x = l \cdot \frac{(m_0 + m/2 - \rh°V)(m + m_0) - (m_0 + m/2)(m + m_0 - \rh°V)}{(m + m_0 - \rh°V)(m + m_0)}$

Раскроем скобки в числителе:

Числитель = $l \cdot [(m_0 + m/2)(m + m_0) - \rh°V(m + m_0) - (m_0 + m/2)(m + m_0) + (m_0 + m/2)\rh°V]$

Числитель = $l \cdot [-\rh°V(m + m_0) + (m_0 + m/2)\rh°V]$

Числитель = $l \cdot \rh°V \cdot (-m - m_0 + m_0 + m/2) = l \cdot \rh°V \cdot (-m/2) = -\frac{l m \rh°V}{2}$

Таким образом, смещение равно:

$\Delta x = -\frac{l m \rh°V}{2(m + m_0)(m + m_0 - \rh°V)}$

Знак минус указывает, что кольцо нужно сдвинуть влево (в сторону, противоположную шарику). Величина смещения (расстояние, на которое надо передвинуть кольцо) равна модулю этого значения.

Ответ: Кольцо надо передвинуть на расстояние $\frac{l m \rh°V}{2(m + m_0)(m + m_0 - \rh°V)}$ в сторону, противоположную той, где прикреплен шарик.