Номер 338, страница 50, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 338, страница 50.

Условие.

338. [272] Лестница длиной $l = 2$ м и массой $m = 10$ кг прислонена к стене под углом $\alpha = 60^{\circ}$ к полу. На какую максимальную высоту может подняться по этой лестнице человек массой $M = 70$ кг, чтобы лестница не сдвинулась? Коэффициенты трения между лестницей и полом, лестницей и стеной соответственно $\mu_1 = 0,4$ и $\mu_2 = 0,5$.

Решение.

Дано

$l = 2$ м
$m = 10$ кг
$\alpha = 60^\circ$
$M = 70$ кг
$\mu_1 = 0,4$
$\mu_2 = 0,5$
Данные представлены в системе СИ.

Найти:

$h_{max}$ — максимальная высота, на которую может подняться человек.

Решение

Рассмотрим условия равновесия лестницы. На лестницу действуют следующие силы: сила тяжести лестницы $mg$, приложенная в ее центре; сила тяжести человека $Mg$, приложенная на расстоянии $\text{x}$ от нижнего конца лестницы; сила нормальной реакции опоры со стороны пола $N_1$ и сила трения о пол $F_{тр1}$; сила нормальной реакции опоры со стороны стены $N_2$ и сила трения о стену $F_{тр2}$. Сила трения $F_{тр1}$ направлена к стене, а сила трения $F_{тр2}$ направлена вверх, так как лестница стремится соскользнуть вниз и от стены.

Для того чтобы лестница находилась в равновесии, сумма всех сил и сумма моментов всех сил должны быть равны нулю. Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси координат (ось X горизонтальна, ось Y вертикальна):

1. Уравнение сил по оси X:
$F_{тр1} - N_2 = 0$

2. Уравнение сил по оси Y:
$N_1 + F_{тр2} - mg - Mg = 0$

Максимальная высота соответствует моменту, когда лестница готова соскользнуть. В этом случае силы трения покоя достигают своих максимальных значений (силы трения скольжения):
$F_{тр1} = \mu_1 N_1$
$F_{тр2} = \mu_2 N_2$

Подставим эти выражения в уравнения для сил:
$\mu_1 N_1 = N_2$
$N_1 + \mu_2 N_2 = (m+M)g$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $N_1$ и $N_2$. Решим ее, подставив первое уравнение во второе:
$N_1 + \mu_2 (\mu_1 N_1) = (m+M)g$
$N_1 (1 + \mu_1 \mu_2) = (m+M)g$
$N_1 = \frac{(m+M)g}{1 + \mu_1 \mu_2}$

Тогда сила реакции стены $N_2$ равна:
$N_2 = \mu_1 N_1 = \frac{\mu_1(m+M)g}{1 + \mu_1 \mu_2}$

Теперь запишем уравнение моментов сил относительно точки касания лестницы с полом (точка А). Это позволит исключить моменты сил $N_1$ и $F_{тр1}$ из уравнения. Сумма моментов сил, вращающих лестницу против часовой стрелки, равна сумме моментов сил, вращающих ее по часовой стрелке.
Моменты сил $N_2$ и $F_{тр2}$ вращают лестницу против часовой стрелки. Моменты сил $mg$ и $Mg$ вращают по часовой стрелке.
$\sum M_A = N_2 \cdot (l \sin\alpha) + F_{тр2} \cdot (l \cos\alpha) - mg \cdot (\frac{l}{2} \cos\alpha) - Mg \cdot (x \cos\alpha) = 0$

Подставим $F_{тр2} = \mu_2 N_2$ и выразим искомое расстояние $\text{x}$:
$N_2 l (\sin\alpha + \mu_2 \cos\alpha) - mg \frac{l}{2} \cos\alpha = Mgx \cos\alpha$

Разделим обе части на $g \cos\alpha$ и подставим выражение для $N_2$:
$Mx = \frac{N_2 l}{g \cos\alpha} (\sin\alpha + \mu_2 \cos\alpha) - m \frac{l}{2}$
$Mx = \frac{\mu_1(m+M)l}{1+\mu_1\mu_2} (\tan\alpha + \mu_2) - m \frac{l}{2}$
$x = \frac{l}{M} \left[ \frac{\mu_1(m+M)}{1+\mu_1\mu_2}(\tan\alpha + \mu_2) - \frac{m}{2} \right]$

Подставим числовые значения:
$\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1,732$
$x = \frac{2}{70} \left[ \frac{0,4(10+70)}{1+0,4 \cdot 0,5}(1,732 + 0,5) - \frac{10}{2} \right]$
$x = \frac{1}{35} \left[ \frac{0,4 \cdot 80}{1+0,2}(2,232) - 5 \right]$
$x = \frac{1}{35} \left[ \frac{32}{1,2}(2,232) - 5 \right]$
$x = \frac{1}{35} \left[ \frac{80}{3} \cdot 2,232 - 5 \right]$
$x = \frac{1}{35} [59,52 - 5] = \frac{54,52}{35} \approx 1,558$ м

Найденное значение $\text{x}$ — это максимальное расстояние, которое человек может пройти вдоль лестницы. Требуется найти максимальную высоту $h_{max}$.
$h_{max} = x \sin\alpha$
$h_{max} = 1,558 \cdot \sin 60^\circ = 1,558 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1,558 \cdot 0,866 \approx 1,349$ м

Ответ: максимальная высота, на которую может подняться человек, составляет примерно 1,35 м.