Номер 337, страница 50, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 337, страница 50.

Условие.

337. [271] Деревянный брус длиной $\text{l}$ несут два человека. На человека, идущего сзади, нагрузка в 2 раза больше, чем на человека, идущего впереди. На каком расстоянии от конца бруса его держит второй человек?

Решение.

Дано:

$\text{l}$ - длина бруса

$F_2 = 2 \cdot F_1$, где $F_1$ – нагрузка на человека, идущего впереди, а $F_2$ – нагрузка на человека, идущего сзади.

Найти:

$\text{x}$ - расстояние от конца бруса, на котором его держит второй человек.

Решение:

Рассмотрим брус как рычаг в состоянии равновесия. На брус действуют три силы, направленные вертикально: сила тяжести $\text{P}$, приложенная к центру масс бруса, и поддерживающие силы $F_1$ и $F_2$, создаваемые людьми. Поскольку брус однородный, его центр масс находится посередине, на расстоянии $l/2$ от каждого конца.

Пусть первый человек держит брус за один конец (примем эту точку за начало координат, $x_1 = 0$), а второй человек держит брус в точке с координатой $x_2$.

Для равновесия бруса необходимо выполнение двух условий:

1. Равенство нулю суммы всех сил, действующих на тело (условие равновесия поступательного движения).

2. Равенство нулю суммы моментов всех сил относительно любой оси (условие равновесия вращательного движения).

Из первого условия равновесия (сумма сил, направленных вверх, равна сумме сил, направленных вниз) следует:

$F_1 + F_2 = P$

По условию задачи $F_2 = 2 \cdot F_1$. Подставим это в уравнение:

$F_1 + 2F_1 = P$

$3F_1 = P \implies F_1 = \frac{P}{3}$

Следовательно, $F_2 = 2 \cdot \frac{P}{3} = \frac{2P}{3}$.

Для второго условия равновесия выберем ось вращения в точке, где брус держит первый человек ($x_1=0$). Момент силы $F_1$ относительно этой точки равен нулю. Сила тяжести $\text{P}$ приложена на расстоянии $l/2$ и создает вращающий момент по часовой стрелке $M_P = P \cdot \frac{l}{2}$. Сила $F_2$ приложена на расстоянии $x_2$ и создает вращающий момент против часовой стрелки $M_2 = F_2 \cdot x_2$.

Сумма моментов сил должна быть равна нулю:

$M_2 - M_P = 0$

$F_2 \cdot x_2 = P \cdot \frac{l}{2}$

Подставим найденное значение $F_2 = \frac{2P}{3}$ в это уравнение:

$\frac{2P}{3} \cdot x_2 = P \cdot \frac{l}{2}$

Сократим $\text{P}$ (вес бруса не равен нулю):

$\frac{2}{3} \cdot x_2 = \frac{l}{2}$

Выразим $x_2$:

$x_2 = \frac{l}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3l}{4}$

Полученное значение $x_2 = \frac{3l}{4}$ – это расстояние от переднего конца бруса, где его держит первый человек. Вопрос задачи "На каком расстоянии от конца бруса его держит второй человек?". Это может означать расстояние как от переднего, так и от заднего конца. Расстояние от заднего конца равно:

$x = l - x_2 = l - \frac{3l}{4} = \frac{4l - 3l}{4} = \frac{l}{4}$

Поскольку второй человек идет сзади, логичнее указать расстояние от заднего (ближайшего к нему) конца бруса.

Ответ: второй человек держит брус на расстоянии $\frac{l}{4}$ от заднего конца.