Номер 339, страница 50, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 339, страница 50.

Условие.

339. [273] Катушку тянут за намотанный на нее провод (рис. 79), пытаясь поднять на ступеньку высотой $\text{h}$. Определите минимальное значение силы натяжения провода $\vec{F}$, при котором это можно сделать. Масса катушки $\text{m}$, внешний радиус катушки $\text{R}$, внутренний радиус $\text{r}$.

Рис. 79

Решение.

Дано:

Масса катушки: $\text{m}$

Внешний радиус катушки: $\text{R}$

Внутренний радиус катушки: $\text{r}$

Высота ступеньки: $\text{h}$

Найти:

Минимальное значение силы натяжения провода: $F_{min}$

Решение:

Для того чтобы катушка начала подниматься на ступеньку, она должна начать вращаться вокруг точки опоры, которой является край ступеньки (обозначим эту точку как A). Это произойдет, когда вращающий момент, создаваемый силой натяжения $\text{F}$ относительно точки A, станет по крайней мере равным вращающему моменту, создаваемому силой тяжести $mg$.

Запишем условие равновесия моментов относительно точки А в предельном случае, когда катушка начинает отрываться от земли:

$M_F = M_{mg}$

где $M_F$ — момент силы $\text{F}$, а $M_{mg}$ — момент силы тяжести $mg$.

Момент силы равен произведению модуля силы на ее плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

1. Найдем момент силы тяжести $M_{mg}$. Сила тяжести $mg$ приложена к центру масс катушки (точка О) и направлена вертикально вниз. Ее плечо $l_{mg}$ равно горизонтальному расстоянию от точки А до центра катушки О. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой А, центром катушки О и проекцией точки О на вертикальную линию, проходящую через А. Гипотенуза этого треугольника равна $\text{R}$, один катет равен $R-h$. Тогда второй катет (плечо $l_{mg}$) по теореме Пифагора равен:

$l_{mg} = \sqrt{R^2 - (R-h)^2} = \sqrt{R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2)} = \sqrt{2Rh - h^2}$

Таким образом, момент силы тяжести равен:

$M_{mg} = mg \cdot l_{mg} = mg \sqrt{2Rh - h^2}$

Этот момент стремится вращать катушку по часовой стрелке, препятствуя подъему.

2. Найдем момент силы натяжения $M_F$. Сила $\text{F}$ приложена горизонтально. Согласно рисунку, провод намотан на внутренний цилиндр радиусом $\text{r}$, и сила приложена к верхней части этого цилиндра. Значит, линия действия силы $\text{F}$ находится на высоте $\text{r}$ над центром катушки О. Плечо силы $\text{F}$ ($l_F$) — это вертикальное расстояние от точки А до линии действия силы. Центр катушки О находится на высоте $R-h$ над точкой А. Следовательно, плечо силы $\text{F}$ равно:

$l_F = (R-h) + r = R + r - h$

Момент силы натяжения равен:

$M_F = F \cdot l_F = F(R + r - h)$

Этот момент стремится вращать катушку против часовой стрелки, способствуя подъему.

3. Приравниваем моменты для нахождения минимальной силы $F_{min}$:

$F_{min}(R + r - h) = mg \sqrt{2Rh - h^2}$

Отсюда выражаем искомую силу:

$F_{min} = \frac{mg \sqrt{2Rh - h^2}}{R + r - h}$

Ответ: Минимальное значение силы натяжения провода, при котором можно поднять катушку на ступеньку, равно $F_{min} = \frac{mg \sqrt{2Rh - h^2}}{R + r - h}$.