Номер 340, страница 50, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 340, страница 50.

Условие.

340. [274] Стержень подвешен на нити, как показано на рисунке 80. При каком коэффициенте трения возможно такое положение? Длина нити равна длине стержня.

Рис. 80

Решение.

Дано:

Длина нити $L_H$ равна длине стержня $\text{L}$, то есть $L_H = L$.

Угол между нитью и стержнем составляет $90^\circ$.

Стержень находится в состоянии равновесия.

Найти:

Условие на коэффициент трения $\mu$, при котором возможно такое положение стержня.

Решение:

Обозначим точку подвеса нити на потолке как A, точку крепления нити к стержню как B, и точку опоры стержня на полу как C. Из рисунка и условия задачи следует, что точка A находится на одной вертикали с точкой C. Нам дано, что длина нити $AB = L$ и длина стержня $BC = L$, а угол между ними $\angle ABC = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником. Угол $\alpha$, который стержень BC образует с горизонтальной поверхностью (полом), можно найти из геометрии. Угол между стержнем BC и вертикалью AC равен $\angle BCA$. В прямоугольном треугольнике ABC: $\tan(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{L}{L} = 1$. Отсюда $\angle BCA = 45^\circ$. Тогда угол стержня с горизонталью $\alpha = 90^\circ - \angle BCA = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

На стержень действуют четыре силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс стержня (его середине) и направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити от точки B к точке A.

3. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх из точки C.

4. Сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально в точке C. Горизонтальная составляющая силы натяжения $\vec{T}$ направлена влево, поэтому для равновесия сила трения $\vec{F}_{тр}$ должна быть направлена вправо.

Для того чтобы стержень находился в равновесии, необходимо выполнение двух условий: сумма всех действующих на него сил должна быть равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой точки также должна быть равна нулю.

Запишем уравнение моментов сил относительно точки C. Это удобно, так как моменты сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$ относительно этой точки равны нулю.

$\sum \tau_C = 0$

Момент силы тяжести $m\vec{g}$ создает вращение по часовой стрелке. Его плечо равно горизонтальному расстоянию от точки C до центра масс стержня: $d_g = \frac{L}{2} \cos(\alpha) = \frac{L}{2} \cos(45^\circ) = \frac{L}{2\sqrt{2}}$.

$\tau_g = mg \cdot d_g = \frac{mgL}{2\sqrt{2}}$

Момент силы натяжения $\vec{T}$ создает вращение против часовой стрелки. Поскольку нить перпендикулярна стержню ($\angle ABC = 90^\circ$), плечо силы $\vec{T}$ относительно точки C равно длине стержня $\text{L}$.

$\tau_T = T \cdot L$

Из условия равенства моментов $\tau_T = \tau_g$:

$T \cdot L = \frac{mgL}{2\sqrt{2}} \implies T = \frac{mg}{2\sqrt{2}}$

Теперь запишем условие равенства сил в проекциях на горизонтальную (Ox) и вертикальную (Oy) оси.

$\sum F_x = 0 \implies F_{тр} - T_x = 0$

Нить образует угол $45^\circ$ с вертикалью, следовательно, и с горизонталью тоже. Проекция силы натяжения на ось Ox: $T_x = T \cos(45^\circ) = \frac{T}{\sqrt{2}}$.

$F_{тр} = \frac{T}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{mg}{2\sqrt{2}} \right) = \frac{mg}{4}$

$\sum F_y = 0 \implies N + T_y - mg = 0$

Проекция силы натяжения на ось Oy: $T_y = T \sin(45^\circ) = \frac{T}{\sqrt{2}}$.

$N = mg - T_y = mg - \frac{T}{\sqrt{2}} = mg - \frac{mg}{4} = \frac{3mg}{4}$

Равновесие возможно, если сила трения покоя не превышает своего максимального значения: $F_{тр} \le \mu N$.

Подставим найденные значения $F_{тр}$ и $\text{N}$ в это неравенство:

$\frac{mg}{4} \le \mu \left( \frac{3mg}{4} \right)$

Сокращая $mg/4$ с обеих сторон, получаем условие для коэффициента трения:

$1 \le 3\mu \implies \mu \ge \frac{1}{3}$

Ответ: Такое положение стержня возможно при коэффициенте трения $\mu \ge \frac{1}{3}$.