Номер 335, страница 49, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 335, страница 49.

Условие.

335. [269] Однородная балка массой $m = 30$ кг прикреплена с помощью шарнира к стене (рис. 77). Балка удерживается тросом, составляющим с ней угол $\alpha = 30^\circ$. К концу балки привязан груз массой $M = 315$ кг. Определите силу давления балки на шарнир и силу натяжения троса.

Рис. 77

Решение.

Дано:

$m = 30$ кг

$M = 315$ кг

$\alpha = 30^\circ$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$\text{T}$ - ?

$F_д$ - ?

Решение:

Балка находится в равновесии, следовательно, выполняются два условия:

1. Векторная сумма всех сил, действующих на балку, равна нулю: $\sum \vec{F} = 0$.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю: $\sum \tau = 0$.

На балку действуют следующие силы:

1. Сила тяжести балки $m\vec{g}$, приложенная к ее центру масс (середине балки, так как она однородная).

2. Сила тяжести груза $M\vec{g}$, приложенная к концу балки.

3. Сила натяжения троса $\vec{T}$, направленная под углом $\alpha$ к балке.

4. Сила реакции шарнира $\vec{R}$, которая имеет две составляющие: горизонтальную $R_x$ и вертикальную $R_y$.

Обозначим длину балки как $\text{L}$. Запишем уравнение моментов сил относительно точки крепления балки к стене (шарнира). Момент силы реакции шарнира $\vec{R}$ относительно этой точки равен нулю.

Моменты сил $m\vec{g}$ и $M\vec{g}$ вращают балку по часовой стрелке (примем это направление за отрицательное), а момент вертикальной составляющей силы натяжения троса $T_y = T \sin(\alpha)$ вращает балку против часовой стрелки (положительное направление).

$\sum \tau = T \cdot L \cdot \sin(\alpha) - m g \cdot \frac{L}{2} - M g \cdot L = 0$

Сократим на $\text{L}$ (длина балки не влияет на результат):

$T \sin(\alpha) - \frac{mg}{2} - Mg = 0$

Выразим силу натяжения троса $\text{T}$:

$T = \frac{Mg + mg/2}{\sin(\alpha)} = \frac{g(M + m/2)}{\sin(\alpha)}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{9.8 \cdot (315 + 30/2)}{\sin(30^\circ)} = \frac{9.8 \cdot (315 + 15)}{0.5} = \frac{9.8 \cdot 330}{0.5} = 6468$ Н $\approx 6.5$ кН.

Теперь найдем силу давления балки на шарнир $F_д$. По третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции шарнира $\vec{R}$. Найдем модуль силы $\vec{R}$. Для этого запишем первое условие равновесия в проекциях на оси координат (ось X - горизонтально вправо, ось Y - вертикально вверх).

Проекция на ось X:

$\sum F_x = R_x - T \cos(\alpha) = 0 \implies R_x = T \cos(\alpha)$

$R_x = 6468 \cdot \cos(30^\circ) = 6468 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5600.3$ Н

Проекция на ось Y:

$\sum F_y = R_y + T \sin(\alpha) - mg - Mg = 0 \implies R_y = (m+M)g - T \sin(\alpha)$

$R_y = (30+315) \cdot 9.8 - 6468 \cdot \sin(30^\circ) = 345 \cdot 9.8 - 6468 \cdot 0.5 = 3381 - 3234 = 147$ Н

Модуль силы реакции шарнира $\text{R}$ (и, соответственно, силы давления $F_д$) найдем по теореме Пифагора:

$F_д = R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$

$F_д = \sqrt{(5600.3)^2 + 147^2} = \sqrt{31363360 + 21609} = \sqrt{31384969} \approx 5602.2$ Н $\approx 5.6$ кН.

Ответ: сила натяжения троса $T \approx 6.5$ кН; сила давления балки на шарнир $F_д \approx 5.6$ кН.