Номер 328, страница 48, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 328, страница 48.

Условие.

328. [262] Определите силы натяжения 262 двух шнуров, на которых подвешена люстра массой 200 кг (рис. 71). Угол между первым шнуром и потолком $60^\circ$, а угол между вторым шнуром и стеной $90^\circ$.

Рис. 71

Решение.

Дано:

Масса люстры, $m = 200$ кг

Угол между первым шнуром и потолком, $\alpha = 60^{\circ}$

Угол между вторым шнуром и стеной, $\beta = 90^{\circ}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Силы натяжения шнуров $T_1$ и $T_2$.

Решение:

Люстра находится в состоянии покоя, следовательно, согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех действующих на нее сил равна нулю. На люстру действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения шнуров, $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, направленные вдоль шнуров.

Сила тяжести, действующая на люстру, вычисляется по формуле:

$F_g = m \cdot g = 200 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 1960 \text{ Н}$

Условие равновесия в векторной форме выглядит так:

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + \vec{F_g} = 0$

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально вправо. Точку, где шнуры крепятся к люстре, примем за начало координат.

Из условия задачи, угол между вторым шнуром и вертикальной стеной составляет $90^{\circ}$, это означает, что второй шнур расположен горизонтально. Следовательно, сила натяжения $\vec{T_2}$ направлена вдоль оси OX.

Первый шнур образует с потолком (горизонталью) угол $\alpha = 60^{\circ}$.

Запишем условие равновесия в проекциях на оси координат.

Сумма проекций сил на ось OX:

$\sum F_x = T_{2x} + T_{1x} + F_{gx} = 0$

Проекции сил: $T_{2x} = T_2$, $T_{1x} = -T_1 \cos(\alpha)$, $F_{gx} = 0$.

Получаем первое уравнение:

$T_2 - T_1 \cos(60^{\circ}) = 0 \quad (1)$

Сумма проекций сил на ось OY:

$\sum F_y = T_{2y} + T_{1y} + F_{gy} = 0$

Проекции сил: $T_{2y} = 0$, $T_{1y} = T_1 \sin(\alpha)$, $F_{gy} = -F_g$.

Получаем второе уравнение:

$T_1 \sin(60^{\circ}) - F_g = 0 \quad (2)$

Теперь решим полученную систему уравнений. Из второго уравнения выразим силу натяжения первого шнура $T_1$:

$T_1 = \frac{F_g}{\sin(60^{\circ})} = \frac{1960 \text{ Н}}{\sqrt{3}/2} = \frac{1960 \cdot 2}{\sqrt{3}} \approx \frac{3920}{1.732} \approx 2263 \text{ Н}$

Подставим значение $T_1$ в первое уравнение, чтобы найти силу натяжения второго шнура $T_2$:

$T_2 = T_1 \cos(60^{\circ}) = T_1 \cdot \frac{1}{2}$

$T_2 \approx 2263 \text{ Н} \cdot 0.5 = 1131.5 \text{ Н}$

Для более точного расчета можно подставить выражение для $T_1$ в формулу для $T_2$:

$T_2 = \frac{F_g}{\sin(60^{\circ})} \cdot \cos(60^{\circ}) = F_g \cdot \text{ctg}(60^{\circ}) = 1960 \text{ Н} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx \frac{1960}{1.732} \approx 1132 \text{ Н}$

Ответ:

Сила натяжения первого шнура $T_1 \approx 2263$ Н, сила натяжения второго шнура $T_2 \approx 1132$ Н.