Номер 327, страница 48, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 327, страница 48.

Условие.

327. [261] Определите силу $T_1$, с которой должен тянуть воз Рак, для того чтобы воз стоял на месте (рис. 70), если Щука и Лебедь тянут с силами соответственно $T_2 = 20 \text{ Н}$ и $T_3 = 60 \text{ Н}$. Угол между векторами сил $T_2$ и $T_3$ равен $90^\circ$. Определите угол между векторами сил $T_3$ и $T_1$.

Рис. 70

Решение.

Дано:

Сила Щуки, $T_2 = 20$ Н
Сила Лебедя, $T_3 = 60$ Н
Угол между векторами сил $\vec{T}_2$ и $\vec{T}_3$, $\alpha = 90^\circ$
Условие равновесия: воз стоит на месте, значит, равнодействующая всех сил равна нулю.

Найти:

Силу Рака, $T_1 - ?$
Угол между векторами сил $\vec{T}_3$ и $\vec{T}_1$, $\beta - ?$

Решение:

Определите силу $T_1$, с которой должен тянуть воз Рак
Условие равновесия воза означает, что векторная сумма всех приложенных к нему сил равна нулю:
$\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 = \vec{0}$
Из этого уравнения следует, что вектор силы $\vec{T}_1$ должен уравновешивать сумму векторов сил $\vec{T}_2$ и $\vec{T}_3$:
$\vec{T}_1 = -(\vec{T}_2 + \vec{T}_3)$
Это означает, что модуль силы $T_1$ равен модулю равнодействующей сил $T_2$ и $T_3$, а направление противоположно. Найдем модуль равнодействующей сил $\vec{R} = \vec{T}_2 + \vec{T}_3$.
Поскольку векторы сил $\vec{T}_2$ и $\vec{T}_3$ перпендикулярны друг другу (угол между ними $90^\circ$), модуль их суммы можно найти по теореме Пифагора:
$T_1 = |\vec{R}| = \sqrt{T_2^2 + T_3^2}$
Подставим числовые значения:
$T_1 = \sqrt{(20 \text{ Н})^2 + (60 \text{ Н})^2} = \sqrt{400 \text{ Н}^2 + 3600 \text{ Н}^2} = \sqrt{4000 \text{ Н}^2} = \sqrt{400 \cdot 10} \text{ Н} = 20\sqrt{10}$ Н.
Вычислим приближенное значение:
$T_1 \approx 20 \cdot 3.16 \approx 63.2$ Н.
Ответ: Сила, с которой должен тянуть Рак, равна $T_1 = 20\sqrt{10} \text{ Н} \approx 63.2 \text{ Н}$.

Определите угол между векторами сил $T_3$ и $T_1$
Обозначим искомый угол между векторами $\vec{T}_3$ и $\vec{T}_1$ как $\beta$. Воспользуемся снова уравнением равновесия $\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 = \vec{0}$.
Умножим это векторное уравнение скалярно на вектор $\vec{T}_3$:
$\vec{T}_3 \cdot (\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3) = 0$
$\vec{T}_3 \cdot \vec{T}_1 + \vec{T}_3 \cdot \vec{T}_2 + \vec{T}_3 \cdot \vec{T}_3 = 0$
Распишем скалярные произведения через модули векторов и косинусы углов между ними:
$T_3 T_1 \cos(\beta) + T_3 T_2 \cos(90^\circ) + T_3^2 \cos(0^\circ) = 0$
Так как $\cos(90^\circ) = 0$ и $\cos(0^\circ) = 1$, уравнение упрощается:
$T_3 T_1 \cos(\beta) + T_3^2 = 0$
$T_1 \cos(\beta) = -T_3$
Отсюда выразим косинус угла $\beta$:
$\cos(\beta) = -\frac{T_3}{T_1}$
Подставим известные значения $T_3 = 60$ Н и найденное значение $T_1 = 20\sqrt{10}$ Н:
$\cos(\beta) = -\frac{60}{20\sqrt{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}}$
Теперь найдем сам угол $\beta$:
$\beta = \arccos(-\frac{3}{\sqrt{10}}) \approx \arccos(-0.9487) \approx 161.6^\circ$.
Ответ: Угол между векторами сил $T_3$ и $T_1$ равен $\beta = \arccos(-\frac{3}{\sqrt{10}}) \approx 161.6^\circ$.