Номер 320, страница 47, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 320, страница 47.

Условие.

320. H Скамья Жуковского радиусом 1 м и массой 200 кг вращается с угловой скоростью 4 рад/с. На край скамьи сверху прыгает человек массой 60 кг. Как изменится скорость вращения скамьи?

Решение.

Дано:

Радиус скамьи, $R = 1$ м

Масса скамьи, $M = 200$ кг

Начальная угловая скорость скамьи, $\omega_1 = 4$ рад/с

Масса человека, $m = 60$ кг

Найти:

Новую угловую скорость вращения скамьи, $\omega_2$

Решение:

В данной задаче можно применить закон сохранения момента импульса, так как система, состоящая из скамьи и человека, является замкнутой. Момент внешних сил (силы тяжести и реакции опоры) относительно оси вращения равен нулю.

Закон сохранения момента импульса для системы имеет вид:

$L_1 = L_2$

где $L_1$ – начальный момент импульса системы, а $L_2$ – конечный.

В начальный момент времени вращается только скамья. Человек покоится относительно оси вращения, поэтому его начальный момент импульса равен нулю. Начальный момент импульса системы равен моменту импульса скамьи:

$L_1 = I_1 \omega_1$

Здесь $I_1$ – момент инерции скамьи. Будем рассматривать скамью Жуковского как сплошной однородный диск. Её момент инерции вычисляется по формуле:

$I_1 = \frac{1}{2} M R^2$

Подставим числовые значения:

$I_1 = \frac{1}{2} \cdot 200 \text{ кг} \cdot (1 \text{ м})^2 = 100 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

После того как человек прыгнул на край скамьи, они стали вращаться вместе с новой угловой скоростью $\omega_2$. Конечный момент импульса системы равен:

$L_2 = I_2 \omega_2$

где $I_2$ – это суммарный момент инерции скамьи и человека.

$I_2 = I_1 + I_ч$

Человека, стоящего на краю диска, можно считать материальной точкой, находящейся на расстоянии $\text{R}$ от оси вращения. Его момент инерции $I_ч$:

$I_ч = m R^2$

$I_ч = 60 \text{ кг} \cdot (1 \text{ м})^2 = 60 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Тогда полный момент инерции системы после прыжка:

$I_2 = 100 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 + 60 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 = 160 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Приравняем начальный и конечный моменты импульса:

$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$

Отсюда выразим конечную угловую скорость $\omega_2$:

$\omega_2 = \frac{I_1 \omega_1}{I_2}$

$\omega_2 = \frac{100 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot 4 \text{ рад/с}}{160 \text{ кг} \cdot \text{м}^2} = \frac{400}{160} \text{ рад/с} = 2.5 \text{ рад/с}$

Таким образом, скорость вращения скамьи уменьшится с 4 рад/с до 2,5 рад/с.

Ответ:

Скорость вращения скамьи уменьшится и станет равной 2,5 рад/с.