Номер 318, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 318, страница 46.

Условие.

318. H Однородный стержень длиной 1 м и массой 1 кг может вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В свободный конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 100 м/с, и застревает в нём. Определите максимальный угол, на который отклонится стержень.

Решение.

Дано:

Длина стержня, $L = 1$ м
Масса стержня, $M = 1$ кг
Масса пули, $m = 10$ г
Скорость пули, $v = 100$ м/с

Перевод в систему СИ:
Масса пули, $m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

Найти:

Максимальный угол отклонения стержня, $\alpha_{max}$

Решение:

Решение задачи состоит из двух этапов. Сначала мы применим закон сохранения момента импульса к системе «стержень-пуля» в момент абсолютно неупругого удара, чтобы найти начальную угловую скорость системы. Затем мы используем закон сохранения механической энергии для определения максимального угла отклонения стержня.

Предполагая, что стержень висит вертикально, в момент удара, который происходит за очень короткий промежуток времени, моментом внешних сил (силы тяжести) можно пренебречь. Следовательно, момент импульса системы относительно оси вращения сохраняется. Момент импульса до удара создается только пулей (стержень покоится):
$L_i = m v L$

После удара пуля застревает в стержне, и они начинают вращаться вместе с угловой скоростью $\omega$. Момент импульса системы после удара:
$L_f = I \omega$
где $\text{I}$ — суммарный момент инерции стержня и пули.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен $I_{ст} = \frac{1}{3}ML^2$. Момент инерции пули (как материальной точки) равен $I_п = mL^2$. Суммарный момент инерции:
$I = I_{ст} + I_п = \frac{1}{3}ML^2 + mL^2 = (\frac{M}{3} + m)L^2$

Из закона сохранения момента импульса ($L_i = L_f$):
$m v L = (\frac{M}{3} + m)L^2 \omega$
Отсюда находим начальную угловую скорость:
$\omega = \frac{m v}{(\frac{M}{3} + m)L}$

После удара система обладает кинетической энергией вращения $E_к = \frac{1}{2}I\omega^2$, которая при подъеме на максимальный угол $\alpha_{max}$ полностью переходит в потенциальную энергию $\Delta E_п$.

Приращение потенциальной энергии складывается из приращения энергии стержня и пули. Центр масс стержня поднимается на высоту $h_{ст} = \frac{L}{2}(1 - \cos\alpha_{max})$, а пуля на $h_п = L(1 - \cos\alpha_{max})$.
$\Delta E_п = Mg h_{ст} + mg h_п = (Mg \frac{L}{2} + mgL)(1 - \cos\alpha_{max}) = (\frac{M}{2} + m) g L (1 - \cos\alpha_{max})$

По закону сохранения энергии $E_к = \Delta E_п$:
$\frac{1}{2}I\omega^2 = (\frac{M}{2} + m) g L (1 - \cos\alpha_{max})$

Подставляем выражения для $\text{I}$ и $\omega$:
$\frac{1}{2} (\frac{M}{3} + m)L^2 \left( \frac{m v}{(\frac{M}{3} + m)L} \right)^2 = (\frac{M}{2} + m) g L (1 - \cos\alpha_{max})$
$\frac{(mv)^2}{2(\frac{M}{3} + m)} = (\frac{M}{2} + m) g L (1 - \cos\alpha_{max})$

Отсюда выражаем $\cos\alpha_{max}$:
$\cos\alpha_{max} = 1 - \frac{(mv)^2}{2 g L (\frac{M}{3} + m)(\frac{M}{2} + m)}$

Подставляем числовые значения (примем $g = 9.8$ м/с²):
$\cos\alpha_{max} = 1 - \frac{(0.01 \cdot 100)^2}{2 \cdot 9.8 \cdot 1 \cdot (\frac{1}{3} + 0.01) \cdot (\frac{1}{2} + 0.01)}$
$\cos\alpha_{max} = 1 - \frac{1^2}{19.6 \cdot (\frac{103}{300}) \cdot (0.51)} \approx 1 - \frac{1}{19.6 \cdot 0.3433 \cdot 0.51} \approx 1 - \frac{1}{3.432}$
$\cos\alpha_{max} \approx 1 - 0.2914 = 0.7086$

$\alpha_{max} = \arccos(0.7086) \approx 44.88^\circ$

Ответ:

Максимальный угол, на который отклонится стержень, составляет примерно $44.9^\circ$.