Номер 316, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 316, страница 46.

Условие.

316. H Определите скорость конца доски при её падении из вертикального положения в момент, когда она составляет с вертикалью угол 60°. Длина доски равна 2 м. Ускорение свободного падения примите равным $g = 9,8 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано:

$L = 2$ м

$α = 60°$

$g = 9,8$ м/с²

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. При падении доски ее потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения. За нулевой уровень потенциальной энергии примем уровень нижнего конца доски, который остается неподвижным.

Полная механическая энергия системы в начальный момент времени (когда доска находится в вертикальном положении) равна полной механической энергии в конечный момент времени (когда доска составляет угол $α$ с вертикалью).

$E_{п1} + E_{к1} = E_{п2} + E_{к2}$

В начальный момент доска покоится, поэтому ее кинетическая энергия $E_{к1} = 0$. Потенциальная энергия определяется высотой центра масс. Для однородной доски центр масс находится в ее середине. В вертикальном положении высота центра масс равна $h_1 = L/2$.

$E_{п1} = mgh_1 = mg\frac{L}{2}$

В конечный момент, когда доска наклонена на угол $α$ к вертикали, высота ее центра масс становится $h_2 = \frac{L}{2} \cosα$.

$E_{п2} = mgh_2 = mg\frac{L}{2} \cosα$

Кинетическая энергия доски в этот момент является энергией вращательного движения:

$E_{к2} = \frac{Iω^2}{2}$

где $\text{I}$ — момент инерции доски относительно оси вращения, проходящей через ее нижний конец, а $ω$ — угловая скорость.

Момент инерции стержня (доски) длиной $\text{L}$ и массой $\text{m}$ относительно оси, проходящей через его конец, равен:

$I = \frac{1}{3}mL^2$

Подставим все выражения в закон сохранения энергии:

$mg\frac{L}{2} = mg\frac{L}{2} \cosα + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}mL^2ω^2$

Массу $\text{m}$ можно сократить:

$g\frac{L}{2} = g\frac{L}{2} \cosα + \frac{1}{6}L^2ω^2$

Выразим отсюда $ω^2$:

$\frac{1}{6}L^2ω^2 = g\frac{L}{2} - g\frac{L}{2} \cosα$

$\frac{1}{6}L^2ω^2 = g\frac{L}{2}(1 - \cosα)$

$ω^2 = \frac{6gL(1 - \cosα)}{2L^2} = \frac{3g(1 - \cosα)}{L}$

Линейная скорость конца доски $\text{v}$ связана с угловой скоростью $ω$ соотношением $v = ωL$. Тогда $v^2 = ω^2L^2$.

$v^2 = \frac{3g(1 - \cosα)}{L} \cdot L^2 = 3gL(1 - \cosα)$

Отсюда находим скорость:

$v = \sqrt{3gL(1 - \cosα)}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{3 \cdot 9,8 \frac{м}{с^2} \cdot 2 \text{ м} \cdot (1 - \cos60°)} = \sqrt{3 \cdot 9,8 \cdot 2 \cdot (1 - 0,5)} = \sqrt{3 \cdot 9,8 \cdot 2 \cdot 0,5} = \sqrt{29,4} \approx 5,42$ м/с.

Округлим до двух значащих цифр.

Ответ: $v \approx 5,4$ м/с.