Номер 309, страница 45, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 309, страница 45.

Условие.

309. [869] Определите скорость, которую надо сообщить телу, запущенному с поверхности Земли, чтобы оно вышло за пределы Солнечной системы (эта скорость называется третьей космической скоростью $v_{\text{III}}$). Расстояние от Земли до Солнца $R = 1,5 \cdot 10^8 \text{ км}$, масса Солнца $M = 1,99 \cdot 10^{30} \text{ кг}$.

Решение.

Дано:

Расстояние от Земли до Солнца $R = 1,5 \cdot 10^8$ км

Масса Солнца $M = 1,99 \cdot 10^{30}$ кг

Справочные данные:

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Вторая космическая скорость для Земли $v_{II} \approx 11,2$ км/с

Перевод в СИ:

$R = 1,5 \cdot 10^8 \text{ км} = 1,5 \cdot 10^{11} \text{ м}$

$v_{II} = 11,2 \text{ км/с} = 11,2 \cdot 10^3 \text{ м/с}$

Найти:

Третью космическую скорость $v_{III}$

Решение:

Третья космическая скорость ($v_{III}$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно могло покинуть Солнечную систему, преодолев гравитационное притяжение не только Земли, но и Солнца.

Для того чтобы тело покинуло Солнечную систему, его скорость относительно Солнца должна быть не меньше параболической скорости ($v_п$) на орбите Земли. Сначала найдем скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца ($v_{орб}$), считая орбиту круговой. В этом случае гравитационная сила, действующая на Землю со стороны Солнца, является центростремительной силой:

$F_г = F_{цс}$

$\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv_{орб}^2}{R}$

где $\text{m}$ — масса тела (в данном случае Земли). Отсюда выразим орбитальную скорость:

$v_{орб} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Подставим числовые значения:

$v_{орб} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 1,99 \cdot 10^{30}}{1,5 \cdot 10^{11}}} \approx \sqrt{8,849 \cdot 10^8} \approx 29747 \text{ м/с} \approx 29,7 \text{ км/с}$

Параболическая скорость ($v_п$), необходимая для преодоления притяжения Солнца с расстояния $\text{R}$, связана с круговой (орбитальной) скоростью соотношением:

$v_п = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = v_{орб}\sqrt{2}$

$v_п \approx 29,7 \text{ км/с} \cdot \sqrt{2} \approx 42,0 \text{ км/с}$

Тело, запускаемое с Земли, уже обладает ее орбитальной скоростью $v_{орб}$. Для минимизации начальной скорости, запуск следует производить в направлении движения Земли по орбите. В этом случае скорость, которую тело должно иметь относительно Земли после того, как оно выйдет из ее поля тяготения ($v_{отн}$), чтобы его итоговая скорость относительно Солнца стала параболической, равна:

$v_{отн} = v_п - v_{орб}$

$v_{отн} \approx 42,0 \text{ км/с} - 29,7 \text{ км/с} = 12,3 \text{ км/с}$

Эта скорость $v_{отн}$ является гиперболическим избытком скорости, который должен остаться у тела после преодоления гравитационного поля Земли. Чтобы найти необходимую стартовую скорость с поверхности Земли ($v_{III}$), воспользуемся законом сохранения энергии для системы "тело-Земля":

$E_{кин. нач.} + E_{пот. нач.} = E_{кин. кон.} + E_{пот. кон.}$

Начальная энергия (на поверхности Земли): $E_{нач} = \frac{mv_{III}^2}{2} - \frac{GM_Зm}{R_З}$

Конечная энергия (на бесконечном удалении от Земли): $E_{кон} = \frac{mv_{отн}^2}{2} + 0$

Приравнивая энергии и сокращая на массу тела $\text{m}$, получаем:

$\frac{v_{III}^2}{2} - \frac{GM_З}{R_З} = \frac{v_{отн}^2}{2}$

Выражение $\frac{2GM_З}{R_З}$ равно квадрату второй космической скорости $v_{II}^2$. Тогда $\frac{GM_З}{R_З} = \frac{v_{II}^2}{2}$. Подставим в уравнение:

$\frac{v_{III}^2}{2} - \frac{v_{II}^2}{2} = \frac{v_{отн}^2}{2}$

Отсюда $v_{III}^2 = v_{II}^2 + v_{отн}^2$.

Подставим известные значения $v_{II} \approx 11,2$ км/с и вычисленное значение $v_{отн} \approx 12,3$ км/с:

$v_{III} = \sqrt{v_{II}^2 + v_{отн}^2} = \sqrt{(11,2 \text{ км/с})^2 + (12,3 \text{ км/с})^2} = \sqrt{125,44 + 151,29} \text{ км/с} = \sqrt{276,73} \text{ км/с} \approx 16,6 \text{ км/с}$

Ответ:

Скорость, которую надо сообщить телу, запущенному с поверхности Земли, чтобы оно вышло за пределы Солнечной системы, составляет примерно 16,6 км/с.