Номер 302, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 302, страница 44.

Условие.

302. [862] Запишите выражение для потенциальной энергии тела массой $\text{m}$, находящегося на расстоянии, равном двум радиусам Земли, считая от её центра, если за нулевой уровень отсчёта принять поверхность Земли.

Решение.

Дано:
Масса тела: $\text{m}$
Расстояние от центра Земли: $r = 2R_З$
Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии находится на поверхности Земли.
Обозначения:
$M_З$ - масса Земли
$R_З$ - радиус Земли
$\text{G}$ - гравитационная постоянная
$\text{g}$ - ускорение свободного падения на поверхности Земли

Найти:
Выражение для потенциальной энергии тела $E_p$.

Решение:
Потенциальная энергия тела массой $\text{m}$ в гравитационном поле тела массой $M_З$ на расстоянии $\text{r}$ от его центра, при условии, что нулевой уровень энергии принят на бесконечности, определяется формулой:$U(r) = -G \frac{M_З m}{r}$В данной задаче за нулевой уровень принята поверхность Земли. Это означает, что потенциальная энергия на расстоянии $\text{r}$ от центра Земли, $E_p(r)$, отличается от $U(r)$ на некоторую постоянную величину $\text{C}$:$E_p(r) = U(r) + C = -G \frac{M_З m}{r} + C$По условию, на поверхности Земли ($r = R_З$) потенциальная энергия равна нулю: $E_p(R_З) = 0$.Подставим это условие в формулу:$0 = -G \frac{M_З m}{R_З} + C$Отсюда находим константу $\text{C}$:$C = G \frac{M_З m}{R_З}$Таким образом, формула для потенциальной энергии с нулевым уровнем на поверхности Земли имеет вид:$E_p(r) = G \frac{M_З m}{R_З} - G \frac{M_З m}{r} = GM_З m \left(\frac{1}{R_З} - \frac{1}{r}\right)$Теперь найдем потенциальную энергию тела на расстоянии $r = 2R_З$ от центра Земли:$E_p(2R_З) = GM_З m \left(\frac{1}{R_З} - \frac{1}{2R_З}\right)$$E_p(2R_З) = GM_З m \left(\frac{2-1}{2R_З}\right) = GM_З m \left(\frac{1}{2R_З}\right) = \frac{GM_З m}{2R_З}$Это выражение можно упростить, используя связь между $\text{G}$, $M_З$ и ускорением свободного падения $\text{g}$ на поверхности Земли. Сила тяжести на поверхности Земли $F_т = mg$, она же равна силе гравитационного притяжения $F_г = G \frac{M_З m}{R_З^2}$.Приравнивая их, получаем: $mg = G \frac{M_З m}{R_З^2}$, откуда $GM_З = gR_З^2$.Подставим это в полученное выражение для энергии:$E_p = \frac{(gR_З^2) m}{2R_З} = \frac{1}{2}mgR_З$

Ответ: $E_p = \frac{GM_З m}{2R_З}$ или $E_p = \frac{1}{2}mgR_З$.