Номер 306, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 306, страница 44.

Условие.

306. [866] Определите работу, которую надо совершить, чтобы вывести спутник на орбиту радиусом $\text{r}$.

Решение.

Дано:

$\text{m}$ - масса спутника
$\text{M}$ - масса планеты (например, Земли)
$\text{R}$ - радиус планеты
$\text{r}$ - радиус орбиты ($r>R$)
$\text{G}$ - гравитационная постоянная

Найти:

$\text{A}$ - работа по выводу спутника на орбиту

Решение:

Работа, которую необходимо совершить, чтобы вывести спутник с поверхности планеты на орбиту, равна изменению его полной механической энергии. Полная механическая энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий.

$A = E_{кон} - E_{нач}$

где $E_{нач}$ — начальная полная энергия спутника на поверхности планеты, а $E_{кон}$ — конечная полная энергия спутника на орбите.

1. Начальная энергия спутника ($E_{нач}$).

Будем считать, что спутник стартует с поверхности планеты из состояния покоя, поэтому его начальная кинетическая энергия равна нулю. Начальная энергия спутника равна его потенциальной энергии в гравитационном поле планеты на её поверхности:

$E_{нач} = U_{нач} = - \frac{G M m}{R}$

2. Конечная энергия спутника ($E_{кон}$).

На круговой орбите радиусом $\text{r}$ спутник обладает как потенциальной, так и кинетической энергией. Его полная энергия равна их сумме:

$E_{кон} = U_{кон} + K_{кон}$

Потенциальная энергия на орбите радиусом $\text{r}$ равна:

$U_{кон} = - \frac{G M m}{r}$

Для нахождения кинетической энергии $K_{кон}$ необходимо определить скорость спутника $\text{v}$ на орбите. Движение по орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{тяг} = m a_{ц}$

$\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Из этого уравнения можно выразить величину $m v^2$:

$m v^2 = \frac{G M m}{r}$

Теперь найдем кинетическую энергию спутника:

$K_{кон} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{2r}$

Полная конечная энергия спутника на орбите равна:

$E_{кон} = U_{кон} + K_{кон} = - \frac{G M m}{r} + \frac{G M m}{2r} = - \frac{G M m}{2r}$

3. Работа по выводу на орбиту ($\text{A}$).

Теперь можем вычислить работу как разность конечной и начальной энергий:

$A = E_{кон} - E_{нач} = \left( - \frac{G M m}{2r} \right) - \left( - \frac{G M m}{R} \right)$

$A = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{2r}$

Вынесем общий множитель $G M m$ за скобки:

$A = G M m \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2r} \right)$

Ответ: Работа, которую надо совершить, чтобы вывести спутник на орбиту радиусом $\text{r}$, равна $A = G M m \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2r} \right)$.