Номер 298, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 298, страница 44.

Условие.

298. [884] Докажите, что после упругого столкновения шаров одинаковой массы, один из которых был неподвижен, в случае непрямого удара они разлетаются под углом $90^\circ$.

Решение.

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = m$

Масса второго шара: $m_2 = m$

Начальная скорость первого шара: $\vec{v}_1$

Начальная скорость второго шара: $\vec{v}_2 = 0$

Скорость первого шара после столкновения: $\vec{v'}_1$

Скорость второго шара после столкновения: $\vec{v'}_2$

Столкновение является абсолютно упругим и нецентральным.

Найти (Доказать):

Угол $\alpha$ между векторами скоростей $\vec{v'}_1$ и $\vec{v'}_2$ равен $90^\circ$.

Решение:

Рассмотрим систему из двух шаров. Поскольку столкновение происходит без участия внешних сил (или их действием можно пренебречь за малое время удара), для системы выполняется закон сохранения импульса. Так как столкновение абсолютно упругое, также выполняется закон сохранения кинетической энергии.

1. Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v'}_1 + m_2\vec{v'}_2$

Подставим известные значения масс ($m_1=m_2=m$) и начальной скорости второго шара ($\vec{v}_2=0$):

$m\vec{v}_1 + m \cdot 0 = m\vec{v'}_1 + m\vec{v'}_2$

Сократим массу $\text{m}$:

$\vec{v}_1 = \vec{v'}_1 + \vec{v'}_2$ (1)

Это векторное уравнение показывает, что вектор начальной скорости первого шара является векторной суммой скоростей обоих шаров после столкновения.

2. Запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1{v'}_1^2}{2} + \frac{m_2{v'}_2^2}{2}$

Подставим известные значения масс и скоростей:

$\frac{mv_1^2}{2} + 0 = \frac{m{v'}_1^2}{2} + \frac{m{v'}_2^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{m}$:

$v_1^2 = {v'}_1^2 + {v'}_2^2$ (2)

Это скалярное уравнение, связывающее квадраты модулей скоростей.

3. Теперь воспользуемся полученными уравнениями для доказательства. Уравнение (1) является векторным. Возведем его скалярно в квадрат, то есть умножим вектор $\vec{v}_1$ сам на себя:

$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1 = (\vec{v'}_1 + \vec{v'}_2) \cdot (\vec{v'}_1 + \vec{v'}_2)$

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{a} \cdot \vec{a} = a^2$. Раскроем скобки в правой части:

$v_1^2 = \vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_1 + 2(\vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_2) + \vec{v'}_2 \cdot \vec{v'}_2$

$v_1^2 = {v'}_1^2 + {v'}_2^2 + 2(\vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_2)$ (3)

4. Сравним уравнения (2) и (3). Левые части у них одинаковы ($v_1^2$), следовательно, правые части также должны быть равны:

${v'}_1^2 + {v'}_2^2 = {v'}_1^2 + {v'}_2^2 + 2(\vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_2)$

Вычтем из обеих частей ${v'}_1^2 + {v'}_2^2$:

$0 = 2(\vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_2)$

$\vec{v'}_1 \cdot \vec{v'}_2 = 0$

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если хотя бы один из векторов нулевой, или если векторы перпендикулярны. В случае непрямого (нецентрального) удара оба шара приходят в движение, то есть $\vec{v'}_1 \ne 0$ и $\vec{v'}_2 \ne 0$. Следовательно, векторы скоростей $\vec{v'}_1$ и $\vec{v'}_2$ перпендикулярны друг другу.

Угол $\alpha$ между ними равен $90^\circ$.

Геометрически, уравнение (1) означает, что векторы $\vec{v}_1$, $\vec{v'}_1$ и $\vec{v'}_2$ образуют треугольник. Уравнение (2) $v_1^2 = {v'}_1^2 + {v'}_2^2$ является теоремой Пифагора для этого треугольника. Это означает, что треугольник скоростей является прямоугольным, а угол между катетами (векторами $\vec{v'}_1$ и $\vec{v'}_2$) равен $90^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. После упругого нецентрального столкновения двух шаров одинаковой массы, один из которых покоился, они разлетаются под углом $90^\circ$ друг к другу.