Номер 292, страница 43, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 292, страница 43.

Условие.

292. [878] Определите, на какой максимальный угол отклонится нить после удара (см. задачу 291 (877)).

Решение.

Поскольку условие задачи 292 (878) ссылается на задачу 291 (877), для решения необходимо использовать данные из предыдущей задачи. Как правило, в таких задачах рассматривается баллистический маятник: в шар, висящий на нити, попадает горизонтально летящая пуля и застревает в нём. Будем исходить из следующих типичных для такой задачи данных.

Дано:

Масса пули, $m = 10$ г
Масса шара, $M = 5$ кг
Скорость пули до удара, $v = 500$ м/с
Длина нити, $l = 1$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$m = 10 \text{ г} = 0.01$ кг

Найти:

Максимальный угол отклонения нити $\alpha$.

Решение:

Решение задачи можно разделить на два основных этапа:
1. Абсолютно неупругое соударение пули и шара.
2. Движение системы "шар с пулей" как единого целого после соударения.

1. Закон сохранения импульса при соударении.
Рассмотрим систему "пуля + шар". Соударение происходит за очень короткий промежуток времени. Внешние силы, действующие на систему (сила тяжести и сила натяжения нити), направлены вертикально. Так как в горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют, то проекция импульса системы на горизонтальную ось сохраняется.

Импульс системы до удара (пуля летит, шар покоится):
$p_{до} = m \cdot v$

Поскольку удар абсолютно неупругий, после него пуля и шар движутся вместе с некоторой скоростью $\text{U}$. Импульс системы сразу после удара:
$p_{после} = (M+m) \cdot U$

Приравнивая импульсы до и после удара, получаем:
$m \cdot v = (M+m) \cdot U$

Отсюда находим начальную скорость системы "шар + пуля":
$U = \frac{m \cdot v}{M+m}$

Подставим числовые значения:
$U = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с}}{5 \text{ кг} + 0.01 \text{ кг}} = \frac{5}{5.01} \approx 0.998$ м/с

2. Закон сохранения энергии после соударения.
После удара система "шар + пуля" начинает двигаться, отклоняясь на угол $\alpha$. В процессе этого движения на систему действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Сила натяжения нити в любой момент времени перпендикулярна вектору скорости, поэтому её работа равна нулю. Сила тяжести является консервативной. Следовательно, полная механическая энергия системы сохраняется.

В начальный момент (сразу после удара, в нижней точке траектории) система обладает кинетической энергией. Примем потенциальную энергию в этой точке равной нулю.
$E_{начальная} = E_к = \frac{(M+m)U^2}{2}$

В конечный момент (в точке максимального отклонения) система на мгновение останавливается, её скорость равна нулю, а высота подъема максимальна ($\text{h}$). Кинетическая энергия равна нулю, а вся механическая энергия перешла в потенциальную.
$E_{конечная} = E_п = (M+m)gh$

По закону сохранения механической энергии:
$E_{начальная} = E_{конечная}$
$\frac{(M+m)U^2}{2} = (M+m)gh$

Отсюда выражаем максимальную высоту подъема $\text{h}$:
$h = \frac{U^2}{2g}$

Подставим найденное значение скорости $\text{U}$:
$h = \frac{(0.998 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} \approx \frac{0.996}{19.6} \approx 0.0508$ м

3. Геометрическая связь высоты и угла.
Максимальная высота подъема $\text{h}$ связана с длиной нити $\text{l}$ и максимальным углом отклонения $\alpha$ из простых геометрических соображений:
$h = l - l \cos(\alpha) = l(1 - \cos(\alpha))$

Выразим из этой формулы косинус искомого угла:
$\cos(\alpha) = 1 - \frac{h}{l}$

Подставим значения $\text{h}$ и $\text{l}$:
$\cos(\alpha) = 1 - \frac{0.0508 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 0.9492$

Теперь найдем сам угол $\alpha$, взяв арккосинус от полученного значения:
$\alpha = \arccos(0.9492) \approx 18.35^\circ$

Ответ: Максимальный угол, на который отклонится нить после удара, составляет примерно $18.35^\circ$.