Номер 286, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 286, страница 42.

Условие.

286. [872] Два шара движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями. Определите отношение скоростей шаров после абсолютно упругого удара, если отношение их масс равно $2/3$.

Решение.

Дано:

Отношение масс двух шаров: $m_1 / m_2 = 2/3$.

Шары движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями. Пусть модуль начальной скорости каждого шара равен $\text{v}$.

Если направить ось $Ox$ вдоль начальной скорости первого шара, то начальные скорости шаров в проекции на эту ось будут:

$v_1 = v$

$v_2 = -v$

Столкновение абсолютно упругое.

Найти:

Отношение скоростей (модулей скоростей) шаров после удара: $|v_1'| / |v_2'|$.

Решение:

При абсолютно упругом столкновении выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Запишем систему уравнений для одномерного абсолютно упругого столкновения:

1. Закон сохранения импульса:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$

2. Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 (v_1')^2 + \frac{1}{2}m_2 (v_2')^2$

Скорости шаров после такого столкновения можно найти по известным формулам:

$v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

$v_2' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

Подставим в эти формулы начальные скорости $v_1 = v$ и $v_2 = -v$:

$v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v + 2m_2 (-v)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 v - m_2 v - 2m_2 v}{m_1 + m_2} = \frac{(m_1 - 3m_2)v}{m_1 + m_2}$

$v_2' = \frac{(m_2 - m_1)(-v) + 2m_1 v}{m_1 + m_2} = \frac{-m_2 v + m_1 v + 2m_1 v}{m_1 + m_2} = \frac{(3m_1 - m_2)v}{m_1 + m_2}$

Теперь воспользуемся заданным отношением масс $m_1 / m_2 = 2/3$, из которого следует $m_1 = \frac{2}{3}m_2$. Подставим это в выражения для $v_1'$ и $v_2'$:

$v_1' = \frac{(\frac{2}{3}m_2 - 3m_2)v}{\frac{2}{3}m_2 + m_2} = \frac{(\frac{2}{3} - 3)m_2 v}{(\frac{2}{3} + 1)m_2} = \frac{-\frac{7}{3}v}{\frac{5}{3}} = -\frac{7}{5}v$

$v_2' = \frac{(3 \cdot \frac{2}{3}m_2 - m_2)v}{\frac{2}{3}m_2 + m_2} = \frac{(2m_2 - m_2)v}{(\frac{2}{3} + 1)m_2} = \frac{m_2 v}{\frac{5}{3}m_2} = \frac{1}{\frac{5}{3}}v = \frac{3}{5}v$

Найденные величины $v_1'$ и $v_2'$ являются проекциями скоростей на ось $Ox$ после столкновения. Нас интересует отношение модулей этих скоростей (скоростей как скалярных величин).

Модуль скорости первого шара после удара: $|v_1'| = |-\frac{7}{5}v| = \frac{7}{5}v$.

Модуль скорости второго шара после удара: $|v_2'| = |\frac{3}{5}v| = \frac{3}{5}v$.

Найдем их отношение:

$\frac{|v_1'|}{|v_2'|} = \frac{\frac{7}{5}v}{\frac{3}{5}v} = \frac{7}{3}$

Ответ: $7/3$.