Номер 279, страница 41, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 279, страница 41.

Условие.

279. [254] Пуля массой $\text{m}$ пробивает закреплённую доску при минимальной скорости $v_0$. С какой скоростью $\text{v}$ должна лететь пуля, чтобы пробить незакреплённую доску? Масса доски $\text{M}$.

Решение.

Дано:

Масса пули: $\text{m}$
Масса доски: $\text{M}$
Минимальная скорость для пробивания закрепленной доски: $v_0$

Найти:

Минимальная скорость для пробивания незакрепленной доски: $\text{v}$

Решение:

Задачу можно решить, рассмотрев два случая и применив законы сохранения энергии и импульса.

1. Случай с закрепленной доской.

Когда пуля пробивает закрепленную доску, вся ее начальная кинетическая энергия расходуется на совершение работы $\text{A}$ против сил сопротивления материала доски. Минимальная скорость $v_0$ соответствует случаю, когда скорость пули после пробивания доски равна нулю.

Согласно теореме об изменении кинетической энергии:

$A = \Delta E_k = \frac{mv_0^2}{2} - 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

Эта работа $\text{A}$ является характеристикой процесса пробивания данной доски данной пулей и будет одинаковой во втором случае.

2. Случай с незакрепленной доской.

Рассмотрим систему "пуля + доска". Поскольку доска не закреплена, на систему в горизонтальном направлении не действуют внешние силы, а значит, выполняется закон сохранения импульса.

Пусть $\text{v}$ - начальная скорость пули. Начальный импульс системы: $p_{нач} = mv$.

Минимальная скорость для пробивания означает, что после того, как пуля прошла сквозь доску, их скорости оказываются одинаковыми. Обозначим эту общую скорость как $\text{u}$. Конечный импульс системы: $p_{кон} = (m+M)u$.

Из закона сохранения импульса:

$mv = (m+M)u \implies u = \frac{mv}{m+M}$

Теперь применим закон сохранения энергии. В этом случае начальная кинетическая энергия пули расходуется на совершение работы $\text{A}$ по пробиванию доски и на сообщение кинетической энергии системе "пуля + доска".

$E_{k,нач} = A + E_{k,кон}$

$\frac{mv^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{(m+M)u^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для конечной скорости $\text{u}$:

$\frac{mv^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{(m+M)}{2} \left(\frac{mv}{m+M}\right)^2$

Умножим обе части уравнения на 2:

$mv^2 = mv_0^2 + (m+M) \frac{m^2v^2}{(m+M)^2}$

$mv^2 = mv_0^2 + \frac{m^2v^2}{m+M}$

Разделим все члены на $\text{m}$ (так как $m \neq 0$):

$v^2 = v_0^2 + \frac{mv^2}{m+M}$

Перенесем члены с $v^2$ в одну сторону:

$v^2 - \frac{mv^2}{m+M} = v_0^2$

$v^2 \left(1 - \frac{m}{m+M}\right) = v_0^2$

$v^2 \left(\frac{m+M-m}{m+M}\right) = v_0^2$

$v^2 \left(\frac{M}{m+M}\right) = v_0^2$

Выразим искомую скорость $\text{v}$:

$v^2 = v_0^2 \frac{m+M}{M}$

$v = \sqrt{v_0^2 \frac{m+M}{M}} = v_0 \sqrt{\frac{m+M}{M}} = v_0 \sqrt{1 + \frac{m}{M}}$

Ответ: $v = v_0 \sqrt{\frac{m+M}{M}}$.