Номер 278, страница 41, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 278, страница 41.

Условие.

278. [253] Канат длиной 2 м переброшен через блок так, что его свешивающиеся концы оказываются одинаковой длины (рис. 59). При небольшом смещении канат начинает соскальзывать с блока. Чему равна скорость каната в тот момент, когда он полностью соскальзывает с блока? Трением можно пренебречь.

Рис. 59

Решение.

Дано:

Длина каната $L = 2$ м

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

Скорость каната $\text{v}$ в момент, когда он полностью соскальзывает с блока.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии, так как по условию трением можно пренебречь. Полная механическая энергия системы (каната) остается постоянной.

$E = K + U = \text{const}$

где $\text{K}$ - кинетическая энергия, а $\text{U}$ - потенциальная энергия.

Рассмотрим два состояния системы: начальное и конечное.

1. Начальное состояние.

Канат переброшен через блок так, что его концы находятся на одной высоте. Длина каждой свешивающейся части равна $L/2 = 2/2 = 1$ м. Канат находится в покое, поэтому его начальная скорость равна нулю.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную ось, проходящую через центр блока.

Начальная кинетическая энергия системы равна нулю, так как канат неподвижен:

$K_1 = 0$

Потенциальная энергия системы равна сумме потенциальных энергий двух половин каната. Центр масс каждой половины каната находится на расстоянии $h_1 = (L/2)/2 = L/4$ ниже нулевого уровня. Пусть $\text{m}$ - масса всего каната, тогда масса каждой половины равна $m/2$.

Начальная потенциальная энергия системы:

$U_1 = \frac{m}{2}g(-\frac{L}{4}) + \frac{m}{2}g(-\frac{L}{4}) = -2 \cdot \frac{mgL}{8} = -\frac{mgL}{4}$

Полная начальная энергия системы:

$E_1 = K_1 + U_1 = 0 - \frac{mgL}{4} = -\frac{mgL}{4}$

2. Конечное состояние.

Канат полностью соскользнул с блока. В этот момент весь канат длиной $\text{L}$ представляет собой единое целое, движущееся вертикально вниз со скоростью $\text{v}$.

Конечная кинетическая энергия системы:

$K_2 = \frac{1}{2}mv^2$

Центр масс всего каната в этот момент находится на расстоянии $h_2 = L/2$ ниже нулевого уровня.

Конечная потенциальная энергия системы:

$U_2 = mgh_2 = -mg\frac{L}{2}$

Полная конечная энергия системы:

$E_2 = K_2 + U_2 = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{mgL}{2}$

Применение закона сохранения энергии.

Приравниваем полную энергию в начальном и конечном состояниях:

$E_1 = E_2$

$-\frac{mgL}{4} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{mgL}{2}$

Масса каната $\text{m}$ присутствует в каждом члене уравнения, поэтому ее можно сократить:

$-\frac{gL}{4} = \frac{1}{2}v^2 - \frac{gL}{2}$

Выразим отсюда скорость $\text{v}$:

$\frac{1}{2}v^2 = \frac{gL}{2} - \frac{gL}{4}$

$\frac{1}{2}v^2 = \frac{2gL - gL}{4} = \frac{gL}{4}$

$v^2 = 2 \cdot \frac{gL}{4} = \frac{gL}{2}$

$v = \sqrt{\frac{gL}{2}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м}}{2}} = \sqrt{9,8 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 3,13 \text{ м/с}$

Ответ: скорость каната в тот момент, когда он полностью соскальзывает с блока, равна $v = \sqrt{\frac{gL}{2}} \approx 3,13$ м/с.