Номер 271, страница 40, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 271, страница 40.

Условие.

271. [246] Лёгкая пружина жёсткостью $100 \text{ Н/м}$ и длиной $l = 10 \text{ см}$ стоит вертикально на столе (рис. 53). С высоты $H = 1 \text{ м}$ на неё падает небольшой шарик массой $m = 100 \text{ г}$, который после взаимодействия с пружиной летит вверх. Определите максимальную скорость шарика.

Рис. 53

Решение.

Дано:

$k = 100$ Н/м
$l = 10$ см
$H = 1$ м
$m = 100$ г

Перевод в систему СИ:
$l = 0.1$ м
$m = 0.1$ кг

Найти:

$v_{max}$ - ?

Решение:

Максимальная скорость шарика будет достигнута в тот момент, когда его ускорение станет равным нулю. Это произойдет, когда сумма сил, действующих на шарик, будет равна нулю. В момент взаимодействия с пружиной на шарик действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вниз, и сила упругости пружины $F_{упр} = kx$, направленная вверх, где $\text{x}$ – сжатие пружины.

Условие равенства сил:

$F_{упр} = F_{тяж}$

$kx_0 = mg$

Здесь $x_0$ – это сжатие пружины в положении равновесия, где скорость шарика максимальна. Выразим это сжатие:

$x_0 = \frac{mg}{k}$

Для нахождения максимальной скорости воспользуемся законом сохранения механической энергии. Сравним энергию системы (шарик + пружина + Земля) в двух состояниях:

1. Начальное состояние: шарик на высоте $\text{H}$ над пружиной, его скорость равна нулю.

2. Конечное состояние: шарик сжал пружину на величину $x_0$ и движется с максимальной скоростью $v_{max}$.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии положение верхнего конца несжатой пружины.

Полная механическая энергия в начальном состоянии (1):

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} + E_{упр1}$

Кинетическая энергия $E_{k1} = 0$, так как шарик покоится. Потенциальная энергия упругой деформации $E_{упр1} = 0$, так как пружина не сжата. Гравитационная потенциальная энергия $E_{p1} = mgH$.

$E_1 = mgH$

Полная механическая энергия в состоянии (2), когда скорость максимальна:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} + E_{упр2}$

Кинетическая энергия $E_{k2} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$. Шарик находится на $x_0$ ниже нулевого уровня, поэтому его гравитационная потенциальная энергия $E_{p2} = -mgx_0$. Потенциальная энергия сжатой пружины $E_{упр2} = \frac{1}{2}kx_0^2$.

$E_2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 - mgx_0 + \frac{1}{2}kx_0^2$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgH = \frac{1}{2}mv_{max}^2 - mgx_0 + \frac{1}{2}kx_0^2$

Подставим в это уравнение выражение для $x_0 = \frac{mg}{k}$:

$mgH = \frac{1}{2}mv_{max}^2 - mg\left(\frac{mg}{k}\right) + \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2$

$mgH = \frac{1}{2}mv_{max}^2 - \frac{(mg)^2}{k} + \frac{1}{2}k\frac{(mg)^2}{k^2}$

$mgH = \frac{1}{2}mv_{max}^2 - \frac{(mg)^2}{k} + \frac{(mg)^2}{2k}$

$mgH = \frac{1}{2}mv_{max}^2 - \frac{(mg)^2}{2k}$

Выразим отсюда $v_{max}^2$:

$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = mgH + \frac{(mg)^2}{2k}$

$v_{max}^2 = 2gH + \frac{mg^2}{k}$

$v_{max} = \sqrt{2gH + \frac{mg^2}{k}}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

$v_{max} = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot 1 м + \frac{0.1 кг \cdot (10 \frac{м}{с^2})^2}{100 \frac{Н}{м}}}$

$v_{max} = \sqrt{20 \frac{м^2}{с^2} + \frac{0.1 \cdot 100}{100} \frac{м^2}{с^2}}$

$v_{max} = \sqrt{20 + 0.1} \frac{м}{с} = \sqrt{20.1} \frac{м}{с} \approx 4.483 \frac{м}{с}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: максимальная скорость шарика $v_{max} \approx 4.5$ м/с.