Номер 269, страница 39, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 269, страница 39.

Условие.

269. [244] Шар массой 1 кг подвешен на нити длиной 1 м. В шар попадает пуля массой 10 г, летящая со скоростью 400 м/с под углом 60° к горизонту (рис. 51). Определите максимальный угол отклонения нити от вертикали.

Рис. 51

Решение.

Дано:

Масса шара, $M = 1$ кг
Длина нити, $L = 1$ м
Масса пули, $m = 10$ г = $0.01$ кг
Скорость пули, $v_0 = 400$ м/с
Угол, под которым летит пуля к горизонту, $\beta = 60^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Максимальный угол отклонения нити от вертикали, $\alpha_{max}$

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа: абсолютно неупругое столкновение пули с шаром и последующее движение системы «шар+пуля» по дуге окружности.

1. Столкновение (Закон сохранения импульса).

Столкновение происходит очень быстро. Внешние силы (сила тяжести и сила натяжения нити) направлены вертикально. Поэтому для горизонтальной проекции импульса системы «пуля+шар» выполняется закон сохранения импульса.

До столкновения горизонтальный импульс системы был равен горизонтальному импульсу пули, так как шар покоился:
$p_{x1} = m v_{0x} = m v_0 \cos(\beta)$

После столкновения пуля застревает в шаре, и они начинают двигаться вместе. Поскольку нить нерастяжима, начальное движение системы будет направлено горизонтально. Обозначим их общую скорость сразу после удара как $\text{u}$. Горизонтальный импульс системы после столкновения:
$p_{x2} = (M+m)u$

Приравнивая импульсы до и после столкновения:
$m v_0 \cos(\beta) = (M+m)u$

Отсюда находим начальную скорость системы «шар+пуля»:
$u = \frac{m v_0 \cos(\beta)}{M+m}$

2. Движение по дуге (Закон сохранения энергии).

После столкновения система «шар+пуля» обладает кинетической энергией и начинает подниматься, отклоняясь на угол $\alpha$. При этом ее кинетическая энергия переходит в потенциальную. В точке максимального подъема на высоту $h_{max}$ вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную, и система на мгновение остановится. Для этого процесса выполняется закон сохранения механической энергии.

Энергия в начальный момент (сразу после удара, в нижней точке траектории):
$E_1 = E_{кин} = \frac{(M+m)u^2}{2}$

Энергия в конечный момент (в точке максимального отклонения на высоту $h_{max}$):
$E_2 = E_{пот} = (M+m)gh_{max}$

Приравнивая энергии:
$\frac{(M+m)u^2}{2} = (M+m)gh_{max}$
$\frac{u^2}{2} = gh_{max}$

Высоту подъема $h_{max}$ можно связать с максимальным углом отклонения $\alpha_{max}$ и длиной нити $\text{L}$ через геометрию:
$h_{max} = L - L\cos(\alpha_{max}) = L(1 - \cos(\alpha_{max}))$

Подставим выражение для $h_{max}$ в закон сохранения энергии:
$\frac{u^2}{2} = gL(1 - \cos(\alpha_{max}))$

Теперь подставим в это уравнение найденную ранее скорость $\text{u}$:
$\frac{1}{2gL} \left( \frac{m v_0 \cos(\beta)}{M+m} \right)^2 = 1 - \cos(\alpha_{max})$

Отсюда выразим $\cos(\alpha_{max})$:
$\cos(\alpha_{max}) = 1 - \frac{1}{2gL} \left( \frac{m v_0 \cos(\beta)}{M+m} \right)^2$

3. Вычисления.

Подставим числовые значения в формулу. Учитывая, что $\cos(60^\circ) = 0.5$:

$\cos(\alpha_{max}) = 1 - \frac{1}{2 \cdot 9.8 \cdot 1} \left( \frac{0.01 \cdot 400 \cdot 0.5}{1 + 0.01} \right)^2$

$\cos(\alpha_{max}) = 1 - \frac{1}{19.6} \left( \frac{2}{1.01} \right)^2$

$\cos(\alpha_{max}) \approx 1 - \frac{1}{19.6} (1.98)^2 \approx 1 - \frac{3.92}{19.6} = 1 - 0.2 = 0.8$

Теперь найдем сам угол:
$\alpha_{max} = \arccos(0.8) \approx 36.87^\circ$

Округлим до целых: $\alpha_{max} \approx 37^\circ$.

Ответ: Максимальный угол отклонения нити от вертикали составляет примерно $37^\circ$.