Номер 265, страница 38, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 265, страница 38.

Условие.

265. [240] Нить длиной 1 м с прикреплённым к ней телом отклонили на угол $90^\circ$ и отпустили. Определите скорость тела в момент времени, когда нить составляет с вертикалью угол:

1) $60^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $0^\circ$.

Решение.

Дано:

$l = 1$ м

$\alpha_0 = 90^\circ$

$v_0 = 0$ м/с (тело отпустили)

$\alpha_1 = 60^\circ$

$\alpha_2 = 45^\circ$

$\alpha_3 = 0^\circ$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_1$ — скорость при $\alpha_1=60^\circ$

$v_2$ — скорость при $\alpha_2=45^\circ$

$v_3$ — скорость при $\alpha_3=0^\circ$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Поскольку сила натяжения нити всегда перпендикулярна вектору скорости тела, она не совершает работы. Сила тяжести является консервативной силой. Следовательно, полная механическая энергия системы (тело + Земля) сохраняется.

Полная механическая энергия $\text{E}$ системы равна сумме её кинетической ($\text{K}$) и потенциальной ($\text{U}$) энергий: $E = K + U$.

За нулевой уровень потенциальной энергии примем самое нижнее положение тела (когда нить висит вертикально, $\alpha = 0^\circ$).

В начальный момент времени тело отклонено на угол $\alpha_0 = 90^\circ$ и его скорость $v_0 = 0$.

Начальная кинетическая энергия: $K_0 = \frac{1}{2}mv_0^2 = 0$.

Высоту тела $\text{h}$ над нулевым уровнем в зависимости от угла отклонения $\alpha$ можно выразить как $h = l - l\cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$.

Начальная высота тела: $h_0 = l(1 - \cos\alpha_0) = l(1 - \cos 90^\circ) = l(1 - 0) = l$.

Начальная потенциальная энергия: $U_0 = mgh_0 = mgl$.

Полная начальная энергия системы: $E_0 = K_0 + U_0 = mgl$.

В произвольный момент времени, когда нить составляет с вертикалью угол $\alpha$, а скорость тела равна $\text{v}$, энергия системы будет:

Кинетическая энергия: $K = \frac{1}{2}mv^2$.

Высота тела: $h = l(1 - \cos\alpha)$.

Потенциальная энергия: $U = mgh = mgl(1 - \cos\alpha)$.

Полная энергия системы: $E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + mgl(1 - \cos\alpha)$.

Согласно закону сохранения энергии, $E_0 = E$:

$mgl = \frac{1}{2}mv^2 + mgl(1 - \cos\alpha)$

Разделим обе части уравнения на массу $\text{m}$ и упростим:

$gl = \frac{1}{2}v^2 + gl - gl\cos\alpha$

$0 = \frac{1}{2}v^2 - gl\cos\alpha$

$\frac{1}{2}v^2 = gl\cos\alpha$

Отсюда находим общую формулу для скорости тела в зависимости от угла $\alpha$:

$v = \sqrt{2gl\cos\alpha}$

Теперь вычислим скорость для каждого из заданных углов, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

1) 60°

Подставим значение угла $\alpha_1 = 60^\circ$ в полученную формулу:

$v_1 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.5} = \sqrt{9.8} \approx 3.13$ м/с.

Ответ: Скорость тела при угле 60° составляет приблизительно $3.13$ м/с.

2) 45°

Подставим значение угла $\alpha_2 = 45^\circ$:

$v_2 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1 \cdot \cos 45^\circ} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{9.8\sqrt{2}} \approx \sqrt{13.86} \approx 3.72$ м/с.

Ответ: Скорость тела при угле 45° составляет приблизительно $3.72$ м/с.

3) 0°

Подставим значение угла $\alpha_3 = 0^\circ$ (нижняя точка траектории):

$v_3 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1 \cdot \cos 0^\circ} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1} = \sqrt{19.6} \approx 4.43$ м/с.

Ответ: Скорость тела при угле 0° составляет приблизительно $4.43$ м/с.