Номер 270, страница 39, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 270, страница 39.

Условие.

270. [245] На гладкой горизонтальной поверхности лежит деревянный брусок массой 4 кг, прикреплённый к стене пружиной жёсткостью $10^2$ Н/м. В центр бруска попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально, и застревает в нём (рис. 52). Определите скорость пули, если максимальное сжатие пружины 30 см.

Рис. 52

Решение.

Дано:

$M = 4$ кг

$k = 10^2$ Н/м = $100$ Н/м

$m = 10$ г

$\Delta x = 30$ см

Перевод в систему СИ:
$m = 10 \cdot 10^{-3}$ кг = $0.01$ кг
$\Delta x = 0.3$ м

Найти:

$v_0$ - начальная скорость пули.

Решение:

Процесс можно разбить на два этапа: абсолютно неупругое столкновение пули и бруска и последующее сжатие пружины, в ходе которого происходит колебательное движение.

1. Абсолютно неупругое столкновение.
Рассмотрим систему "пуля-брусок". В момент удара, который происходит за очень короткое время, внешними силами (силой упругости пружины) можно пренебречь по сравнению с внутренними силами взаимодействия пули и бруска. Следовательно, для системы "пуля-брусок" в горизонтальном направлении выполняется закон сохранения импульса.

Импульс системы до столкновения: $p_1 = m v_0$, так как брусок покоился ($v_M = 0$).

После столкновения пуля застревает в бруске, и они начинают двигаться как единое целое со скоростью $\text{u}$. Импульс системы после столкновения: $p_2 = (m + M)u$.

Согласно закону сохранения импульса, $p_1 = p_2$:

$m v_0 = (m + M)u$

Из этого уравнения выразим начальную скорость пули $v_0$:

$v_0 = \frac{(m + M)u}{m}$ (1)

2. Сжатие пружины.
После столкновения система "брусок с пулей" обладает кинетической энергией. Эта энергия переходит в потенциальную энергию пружины при её сжатии. Так как поверхность гладкая, трение отсутствует, и выполняется закон сохранения механической энергии для системы "брусок с пулей + пружина".

Механическая энергия системы сразу после столкновения (в момент, когда сжатие пружины равно нулю) равна кинетической энергии бруска с пулей:

$E_1 = E_k = \frac{(m + M)u^2}{2}$

В момент максимального сжатия пружины на величину $\Delta x$, скорость системы становится равной нулю. Вся кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию сжатой пружины:

$E_2 = E_p = \frac{k(\Delta x)^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$\frac{(m + M)u^2}{2} = \frac{k(\Delta x)^2}{2}$

Отсюда найдем скорость $\text{u}$ бруска с пулей сразу после столкновения:

$(m + M)u^2 = k(\Delta x)^2$

$u = \sqrt{\frac{k(\Delta x)^2}{m + M}} = \Delta x \sqrt{\frac{k}{m + M}}$ (2)

3. Нахождение начальной скорости пули.
Подставим выражение для скорости $\text{u}$ из формулы (2) в формулу (1):

$v_0 = \frac{m + M}{m} \cdot \left( \Delta x \sqrt{\frac{k}{m + M}} \right)$

Внесем множитель $(m+M)$ под корень:

$v_0 = \frac{\Delta x}{m} \sqrt{\frac{k(m + M)^2}{m + M}} = \frac{\Delta x}{m} \sqrt{k(m + M)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$m + M = 0.01 \text{ кг} + 4 \text{ кг} = 4.01 \text{ кг}$

$v_0 = \frac{0.3 \text{ м}}{0.01 \text{ кг}} \sqrt{100 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 4.01 \text{ кг}} = 30 \frac{\text{м}}{\text{кг}} \sqrt{401 \frac{\text{Н} \cdot \text{кг}}{\text{м}}}$

$v_0 = 30 \sqrt{401} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 30 \cdot 20.025 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 600.75 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округляя до трёх значащих цифр, получаем:

$v_0 \approx 601$ м/с.

Ответ: скорость пули равна приблизительно 601 м/с.