Номер 264, страница 38, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 264, страница 38.

Условие.

264. [239] С какой скоростью надо бросить вертикально вниз мяч с высоты $\text{h}$, чтобы, ударившись о пол, он подскочил на высоту $\text{2h}$? Потери энергии при ударе не учитывайте.

Решение.

Дано:

Начальная высота: $\text{h}$

Высота после отскока: $H = 2h$

Потери энергии при ударе отсутствуют.

Найти:

Начальную скорость $v_0$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность пола.

1. Сначала найдем скорость $v_2$, которую должен иметь мяч сразу после отскока от пола, чтобы подняться на высоту $H = 2h$. В верхней точке траектории (на высоте $2h$) скорость мяча равна нулю, а его энергия является чисто потенциальной. По закону сохранения энергии, кинетическая энергия мяча сразу после отскока равна его потенциальной энергии на максимальной высоте:

$\frac{mv_2^2}{2} = mg(2h)$

где $\text{m}$ - масса мяча, $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Отсюда можно выразить квадрат скорости $v_2$:

$v_2^2 = 4gh$

2. В условии сказано, что потери энергии при ударе отсутствуют. Это означает, что удар является абсолютно упругим. При абсолютно упругом ударе о массивную неподвижную поверхность скорость тела по модулю сохраняется. Таким образом, скорость мяча непосредственно перед ударом $v_1$ равна скорости мяча сразу после удара $v_2$:

$v_1 = v_2$

Следовательно, $v_1^2 = v_2^2 = 4gh$.

3. Теперь рассмотрим падение мяча с высоты $\text{h}$ с начальной скоростью $v_0$. В начальный момент (на высоте $\text{h}$) полная механическая энергия мяча складывается из кинетической и потенциальной энергии:

$E_{начальная} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh$

В момент перед ударом о пол (на высоте 0) полная энергия мяча является чисто кинетической:

$E_{перед\_ударом} = \frac{mv_1^2}{2}$

По закону сохранения энергии при падении:

$E_{начальная} = E_{перед\_ударом}$

$\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv_1^2}{2}$

4. Подставим в это уравнение найденное ранее значение для $v_1^2$:

$\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{m(4gh)}{2}$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{v_0^2}{2} + gh = 2gh$

Выразим $v_0^2$:

$\frac{v_0^2}{2} = 2gh - gh$

$\frac{v_0^2}{2} = gh$

$v_0^2 = 2gh$

Отсюда находим начальную скорость $v_0$:

$v_0 = \sqrt{2gh}$

Ответ: начальная скорость, с которой нужно бросить мяч, равна $v_0 = \sqrt{2gh}$.