Номер 259, страница 38, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работы сил тяжести и упругости. Потенциальная энергия - номер 259, страница 38.

Условие.

259. [234] Шарик массой 1 кг подвешивают на пружине жёсткостью $10^2$ Н/м. Затем пружину растягивают на 5 см и отпускают. Используя теорему о кинетической энергии, определите скорость шарика в тот момент, когда он проходит положение равновесия.

Решение.

Дано:

$m = 1$ кг
$k = 10^2$ Н/м = $100$ Н/м
$A = 5$ см

Перевод в систему СИ:
$A = 0.05$ м

Найти:

$\text{v}$ - скорость шарика в положении равновесия.

Решение:

Согласно теореме о кинетической энергии, изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на это тело:

$ΔE_k = W_{общ}$

В начальный момент времени (в точке максимального растяжения) шарик покоится, поэтому его начальная скорость $v_1 = 0$. В положении равновесия скорость шарика будет максимальной и равной $\text{v}$. Изменение кинетической энергии равно:

$ΔE_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

На шарик действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$ и сила упругости пружины $F_{упр}$. Работа всех сил равна сумме работ этих двух сил:

$W_{общ} = W_g + W_{упр}$

В положении равновесия сила тяжести уравновешивается силой упругости:

$mg = k\Delta x_0$

где $\Delta x_0$ - растяжение пружины в положении равновесия.

Шарик отпускают из положения, где пружина дополнительно растянута на величину $\text{A}$ (амплитуда) от положения равновесия. Таким образом, движение происходит от точки с максимальным растяжением $x_1 = \Delta x_0 + A$ до положения равновесия $x_2 = \Delta x_0$. Перемещение шарика происходит вверх и равно $\text{A}$.

Работа силы тяжести отрицательна, так как сила направлена вниз, а перемещение — вверх:

$W_g = -mgA$

Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины, взятому с противоположным знаком:

$W_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2} = \frac{k(\Delta x_0 + A)^2}{2} - \frac{k(\Delta x_0)^2}{2}$

$W_{упр} = \frac{k}{2}((\Delta x_0)^2 + 2A\Delta x_0 + A^2 - (\Delta x_0)^2) = kA\Delta x_0 + \frac{kA^2}{2}$

Суммарная работа:

$W_{общ} = W_g + W_{упр} = -mgA + kA\Delta x_0 + \frac{kA^2}{2}$

Поскольку $mg = k\Delta x_0$, первые два слагаемых взаимно уничтожаются:

$W_{общ} = -kA\Delta x_0 + kA\Delta x_0 + \frac{kA^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$

Теперь приравняем изменение кинетической энергии к полной работе:

$\frac{mv^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$

Отсюда выразим скорость $\text{v}$:

$mv^2 = kA^2$

$v = A\sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим числовые значения:

$v = 0.05 \cdot \sqrt{\frac{100}{1}} = 0.05 \cdot 10 = 0.5$ м/с

Ответ: скорость шарика в момент, когда он проходит положение равновесия, равна $0.5$ м/с.