Номер 253, страница 37, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работы сил тяжести и упругости. Потенциальная энергия - номер 253, страница 37.

Условие.

253. [228] Камень бросают под углом $45^\circ$ к горизонту со скоростью $10 \text{ м/с}$. Вычислите наибольшую высоту подъёма камня, используя теорему об изменении кинетической энергии.

Решение.

Дано:

Угол броска к горизонту $ \alpha = 45^\circ $

Начальная скорость камня $ v_0 = 10 $ м/с

Ускорение свободного падения $ g \approx 10 $ м/с$ ^2 $ (примем это значение для упрощения расчетов)

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Наибольшую высоту подъёма $ H_{max} $.

Решение:

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на это тело:

$ \Delta E_k = A_{net} $

где $ \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} $ - изменение кинетической энергии, а $ A_{net} $ - работа равнодействующей всех сил.

В процессе полета камня на него действует только одна сила — сила тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Следовательно, работа всех сил равна работе силы тяжести: $ A_{net} = A_g $.

Работа силы тяжести при подъеме тела на высоту $ H_{max} $ отрицательна и равна:

$ A_g = -mgH_{max} $

где $ m $ - масса камня.

Кинетическая энергия камня в начальный момент времени (в точке броска):

$ E_{k1} = \frac{mv_0^2}{2} $

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости камня равна нулю ($ v_y = 0 $), а горизонтальная составляющая остается неизменной и равной $ v_x = v_0 \cos(\alpha) $. Таким образом, скорость камня в наивысшей точке $ v_2 = v_x = v_0 \cos(\alpha) $.

Кинетическая энергия камня в наивысшей точке траектории:

$ E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2} = \frac{m(v_0 \cos(\alpha))^2}{2} $

Подставим все выражения в теорему об изменении кинетической энергии:

$ E_{k2} - E_{k1} = A_g $

$ \frac{m(v_0 \cos(\alpha))^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = -mgH_{max} $

Сократим массу $ m $ в обеих частях уравнения:

$ \frac{(v_0 \cos(\alpha))^2}{2} - \frac{v_0^2}{2} = -gH_{max} $

Умножим обе части на -1 и выразим $ gH_{max} $:

$ gH_{max} = \frac{v_0^2}{2} - \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{2} $

$ gH_{max} = \frac{v_0^2}{2}(1 - \cos^2(\alpha)) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, получаем $ 1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha) $.

$ gH_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2} $

Отсюда выражаем максимальную высоту подъема $ H_{max} $:

$ H_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g} $

Подставим числовые значения:

$ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin^2(45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = 0.5 $

$ H_{max} = \frac{(10 \text{ м/с})^2 \cdot 0.5}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{100 \cdot 0.5}{20} = \frac{50}{20} = 2.5 \text{ м} $

Ответ: наибольшая высота подъема камня составляет 2.5 м.