Номер 249, страница 36, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Кинетическая энергия и её изменение - номер 249, страница 36.

Условие.

249. [224] Мальчик скатывается по ледяному спуску с горки высотой 5 м. Какое расстояние он проедет по горизонтальной части пути до остановки? Коэффициент трения между одеждой мальчика и ледяной поверхностью 0,3. Поверхность горки составляет с горизонтом угол 45°.

Решение.

Дано:

Высота горки: $h = 5$ м

Коэффициент трения: $\mu = 0.3$

Угол наклона горки: $\alpha = 45^\circ$

Найти:

Расстояние по горизонтальной части пути до остановки: $\text{S}$ - ?

Решение:

Эту задачу можно решить, используя закон сохранения энергии с учётом работы неконсервативных сил (силы трения). Изменение полной механической энергии системы равно работе, совершённой силой трения.

$\Delta E = W_{тр}$

За начальное состояние (1) примем положение мальчика на вершине горки, а за конечное (2) — точку его остановки на горизонтальном участке. Начальная энергия системы, когда мальчик находится на вершине горки на высоте $\text{h}$ и его скорость равна нулю, состоит только из потенциальной энергии:

$E_1 = E_{п1} + E_{к1} = mgh + 0 = mgh$

где $\text{m}$ — масса мальчика, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Конечная энергия системы, когда мальчик остановился на горизонтальной поверхности, равна нулю, так как и высота, и скорость равны нулю:

$E_2 = E_{п2} + E_{к2} = 0 + 0 = 0$

Изменение полной механической энергии равно:

$\Delta E = E_2 - E_1 = 0 - mgh = -mgh$

Работа силы трения складывается из работы на наклонном участке ($W_{тр1}$) и на горизонтальном ($W_{тр2}$).

$W_{тр} = W_{тр1} + W_{тр2}$

1. Работа трения на наклонном участке. Длина наклонного спуска $\text{L}$ связана с высотой $\text{h}$ и углом $\alpha$ как $L = \frac{h}{\sin\alpha}$. Сила нормальной реакции опоры на наклонной плоскости равна $N_1 = mg \cos\alpha$. Сила трения на спуске: $F_{тр1} = \mu N_1 = \mu mg \cos\alpha$. Работа силы трения на спуске (отрицательна, так как сила направлена против движения):

$W_{тр1} = -F_{тр1} \cdot L = -(\mu mg \cos\alpha) \cdot (\frac{h}{\sin\alpha}) = -\mu mgh \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\mu mgh \cot\alpha$

2. Работа трения на горизонтальном участке. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции опоры $N_2 = mg$. Сила трения: $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu mg$. Работа силы трения на горизонтальном участке пути $\text{S}$:

$W_{тр2} = -F_{тр2} \cdot S = -\mu mg S$

Теперь приравняем изменение энергии к полной работе силы трения:

$\Delta E = W_{тр1} + W_{тр2}$

$-mgh = -\mu mgh \cot\alpha - \mu mg S$

Сократим обе части уравнения на $-mg$ (масса мальчика не влияет на результат):

$h = \mu h \cot\alpha + \mu S$

Выразим искомое расстояние $\text{S}$:

$\mu S = h - \mu h \cot\alpha$

$S = \frac{h(1 - \mu \cot\alpha)}{\mu} = h(\frac{1}{\mu} - \cot\alpha)$

Подставим числовые значения. Учтём, что $\cot(45^\circ) = 1$.

$S = 5 \cdot (\frac{1}{0.3} - 1) = 5 \cdot (\frac{10}{3} - \frac{3}{3}) = 5 \cdot \frac{7}{3} = \frac{35}{3} \approx 11.67$ м

Ответ: мальчик проедет по горизонтальной части пути расстояние примерно 11,67 м.