Номер 243, страница 36, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Кинетическая энергия и её изменение - номер 243, страница 36.

Условие.

243. [218] Вверх по наклонной плоскости начинает двигаться тело со скоростью 10 м/с. Поднявшись, оно соскальзывает вниз. Определите скорость, с которой оно возвращается в начальное положение. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол 30°. Коэффициент трения между телом и плоскостью 0,2.

Решение.

Дано

Начальная скорость тела: $v_0 = 10$ м/с
Угол наклона плоскости: $\alpha = 30^{\circ}$
Коэффициент трения: $\mu = 0.2$

Найти:

Скорость тела при возвращении в начальное положение: $v_f$

Решение

Для решения задачи применим закон сохранения энергии с учетом работы силы трения. Разобьем движение тела на два этапа: подъем до максимальной высоты и спуск обратно в исходную точку.

При движении тела вверх по наклонной плоскости его начальная кинетическая энергия $E_{k0} = \frac{1}{2}mv_0^2$ расходуется на увеличение потенциальной энергии $E_p = mgh$ и на работу против силы трения $A_{тр, вверх}$. В верхней точке подъема скорость тела равна нулю. Пусть $\text{L}$ — пройденный путь вдоль наклонной плоскости. Тогда высота подъема $h = L\sin\alpha$. Работа силы трения равна $A_{тр, вверх} = F_{тр}L = (\mu N)L = (\mu mg\cos\alpha)L$.

Запишем закон изменения энергии для подъема (начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию и работу против трения):

$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgL\sin\alpha + \mu mgL\cos\alpha$

$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgL(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$ (1)

При движении тела вниз его потенциальная энергия $E_p = mgL\sin\alpha$, накопленная в верхней точке, переходит в кинетическую энергию в начальной точке $E_{kf} = \frac{1}{2}mv_f^2$ и в работу против силы трения $A_{тр, вниз} = \mu mgL\cos\alpha$.

Запишем закон изменения энергии для спуска:

$mgL\sin\alpha = \frac{1}{2}mv_f^2 + \mu mgL\cos\alpha$

Отсюда выразим конечную кинетическую энергию:

$\frac{1}{2}mv_f^2 = mgL(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ (2)

Теперь разделим почленно уравнение (2) на уравнение (1), чтобы исключить неизвестный путь $\text{L}$ и массу $\text{m}$:

$\frac{\frac{1}{2}mv_f^2}{\frac{1}{2}mv_0^2} = \frac{mgL(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{mgL(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}$

После сокращения получаем:

$\frac{v_f^2}{v_0^2} = \frac{\sin\alpha - \mu\cos\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}$

Выразим искомую конечную скорость $v_f$:

$v_f = v_0 \sqrt{\frac{\sin\alpha - \mu\cos\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_f = 10 \cdot \sqrt{\frac{\sin 30^{\circ} - 0.2 \cdot \cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ} + 0.2 \cdot \cos 30^{\circ}}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{0.5 - 0.2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0.5 + 0.2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

$v_f \approx 10 \cdot \sqrt{\frac{0.5 - 0.2 \cdot 0.866}{0.5 + 0.2 \cdot 0.866}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{0.5 - 0.1732}{0.5 + 0.1732}}$

$v_f \approx 10 \cdot \sqrt{\frac{0.3268}{0.6732}} \approx 10 \cdot \sqrt{0.4854} \approx 10 \cdot 0.697$

$v_f \approx 6.97$ м/с.

Ответ: 6,97 м/с.