Номер 238, страница 35, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы. Мощность - номер 238, страница 35.

Условие.

238. [214] Автомобиль массой 2 т равноускоренно поднимается в гору с уклоном 30°. Длина подъёма 100 м. Скорость автомобиля в начале подъёма 36 км/ч, в конце 54 км/ч. Сила сопротивления, действующая на автомобиль, постоянна и равна 800 Н.

1) Определите среднюю полезную мощность двигателя автомобиля.

2) Определите мощность двигателя, если его КПД 70 %.

Решение.

Дано

$m = 2 \text{ т} = 2000 \text{ кг}$
$\alpha = 30^\circ$
$S = 100 \text{ м}$
$v_0 = 36 \text{ км/ч} = 10 \text{ м/с}$
$v = 54 \text{ км/ч} = 15 \text{ м/с}$
$F_{сопр} = 800 \text{ Н}$
$\eta = 70\% = 0.7$
Ускорение свободного падения $g = 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

1) $P_{полезная\;ср} - ?$
2) $P_{двигателя} - ?$

Решение

1) Определите среднюю полезную мощность двигателя автомобиля.

Средняя полезная мощность определяется как отношение полезной работы, совершенной двигателем, ко времени, за которое эта работа была совершена:

$P_{полезная\;ср} = \frac{A_{полезная}}{t}$

Полезная работа $A_{полезная}$ (работа силы тяги) идет на увеличение кинетической энергии автомобиля $(\Delta E_k)$, увеличение его потенциальной энергии $(\Delta E_p)$ и на преодоление силы сопротивления $(A_{сопр})$. Согласно теореме об изменении полной механической энергии:

$A_{полезная} = \Delta E_k + \Delta E_p + A_{сопр}$

Найдем каждую из составляющих:

1. Изменение кинетической энергии:

$\Delta E_k = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = \frac{2000 \cdot 15^2}{2} - \frac{2000 \cdot 10^2}{2} = 1000 \cdot (225 - 100) = 125000 \text{ Дж}$

2. Изменение потенциальной энергии:

$\Delta E_p = mgh$, где $\text{h}$ — высота подъема. $h = S \cdot \sin(\alpha)$.

$h = 100 \cdot \sin(30^\circ) = 100 \cdot 0.5 = 50 \text{ м}$

$\Delta E_p = 2000 \cdot 9.8 \cdot 50 = 980000 \text{ Дж}$

3. Работа против силы сопротивления:

$A_{сопр} = F_{сопр} \cdot S = 800 \cdot 100 = 80000 \text{ Дж}$

Теперь найдем полную полезную работу:

$A_{полезная} = 125000 + 980000 + 80000 = 1185000 \text{ Дж}$

Далее найдем время движения $\text{t}$. Так как движение равноускоренное, воспользуемся кинематической формулой:

$S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

Отсюда время $\text{t}$:

$t = \frac{2S}{v_0 + v} = \frac{2 \cdot 100}{10 + 15} = \frac{200}{25} = 8 \text{ с}$

Наконец, вычислим среднюю полезную мощность:

$P_{полезная\;ср} = \frac{1185000 \text{ Дж}}{8 \text{ с}} = 148125 \text{ Вт} = 148,125 \text{ кВт}$

Ответ: средняя полезная мощность двигателя составляет 148125 Вт (или 148,125 кВт).

2) Определите мощность двигателя, если его КПД 70%.

Коэффициент полезного действия (КПД) двигателя связывает полезную мощность ($P_{полезная}$) и полную (затрачиваемую) мощность двигателя ($P_{двигателя}$) соотношением:

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{двигателя}}$

Отсюда полная мощность двигателя:

$P_{двигателя} = \frac{P_{полезная}}{\eta}$

Подставим в эту формулу найденную в первом пункте среднюю полезную мощность, чтобы найти среднюю полную мощность, развиваемую двигателем на данном участке:

$P_{двигателя} = \frac{148125 \text{ Вт}}{0.7} \approx 211607 \text{ Вт} \approx 211,6 \text{ кВт}$

Ответ: мощность двигателя составляет примерно 211,6 кВт.