Номер 232, страница 34, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы. Мощность - номер 232, страница 34.

Условие.

232. [208] По наклонной плоскости с углом у основания $45^\circ$ поднимают ящик с песком общей массой 30 кг, привязав к нему верёвку (рис. 45). Ящик подняли на высоту 20 м за 17 с. Коэффициент трения между ящиком и плоскостью 0,2. Определите работу каждой из сил, действующих на ящик. Считайте движение ящика равноускоренным.

Рис. 45

Решение.

Дано:

$\alpha = 45^\circ$
$m = 30$ кг
$h = 20$ м
$t = 17$ с
$\mu = 0.2$
$g = 9.8$ м/с$^2$

Найти:

$A_F$ - работа силы тяги
$A_g$ - работа силы тяжести
$A_N$ - работа силы нормальной реакции опоры
$A_{fr}$ - работа силы трения

Решение:

На ящик, движущийся вверх по наклонной плоскости, действуют четыре силы: сила тяги $\vec{F}$, сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{fr}$. Работа каждой силы вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos\theta$, где $\text{s}$ – модуль перемещения, а $\theta$ – угол между направлением силы и перемещения.

1. Сначала определим расстояние $\text{s}$, которое прошел ящик вдоль наклонной плоскости. Из прямоугольного треугольника, образованного наклонной плоскостью, высотой и основанием, имеем:

$s = \frac{h}{\sin\alpha} = \frac{20 \text{ м}}{\sin 45^\circ} = \frac{20}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 20\sqrt{2} \text{ м} \approx 28.28 \text{ м}$.

Работа силы тяжести ($A_g$)

Сила тяжести направлена вертикально вниз, а ящик перемещается вверх. Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты и рассчитывается по формуле:

$A_g = -mgh$

$A_g = -30 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 20 \text{ м} = -5880$ Дж.

Ответ: $A_g = -5880$ Дж.

Работа силы нормальной реакции ($A_N$)

Сила нормальной реакции $\vec{N}$ всегда перпендикулярна поверхности, по которой движется тело. В данном случае она перпендикулярна вектору перемещения $\vec{s}$ (угол между ними $90^\circ$). Поэтому её работа равна нулю.

$A_N = N \cdot s \cdot \cos 90^\circ = 0$.

Ответ: $A_N = 0$ Дж.

Работа силы трения ($A_{fr}$)

Сила трения скольжения $\vec{F}_{fr}$ направлена противоположно вектору перемещения (угол $180^\circ$), поэтому её работа отрицательна. Модуль силы трения равен $F_{fr} = \mu N$.

Чтобы найти $\text{N}$, рассмотрим силы, действующие перпендикулярно наклонной плоскости. Так как в этом направлении движения нет, сумма проекций сил равна нулю:

$N - mg\cos\alpha = 0 \implies N = mg\cos\alpha$

$N = 30 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \cos 45^\circ = 294 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 147\sqrt{2}$ Н.

Теперь вычислим силу трения:

$F_{fr} = \mu N = 0.2 \cdot 147\sqrt{2} = 29.4\sqrt{2}$ Н.

Работа силы трения:

$A_{fr} = -F_{fr} \cdot s = -(29.4\sqrt{2} \text{ Н}) \cdot (20\sqrt{2} \text{ м}) = -29.4 \cdot 20 \cdot 2 = -1176$ Дж.

Ответ: $A_{fr} = -1176$ Дж.

Работа силы тяги ($A_F$)

Сила тяги $\vec{F}$ направлена вдоль перемещения, поэтому $A_F = F \cdot s$. Чтобы найти $\text{F}$, воспользуемся вторым законом Ньютона. Движение равноускоренное, найдем ускорение $\text{a}$, зная, что начальная скорость $v_0 = 0$:

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2} \implies a = \frac{2s}{t^2} = \frac{2 \cdot 20\sqrt{2}}{(17)^2} = \frac{40\sqrt{2}}{289} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости вверх:

$ma = F - F_{fr} - mg\sin\alpha$

Отсюда выражаем силу тяги $\text{F}$:

$F = ma + F_{fr} + mg\sin\alpha$

$F = 30 \cdot \frac{40\sqrt{2}}{289} + 29.4\sqrt{2} + 30 \cdot 9.8 \cdot \sin 45^\circ$

$F = \frac{1200\sqrt{2}}{289} + 29.4\sqrt{2} + 294 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \left(\frac{1200}{289} + 29.4 + 147\right)\sqrt{2} \approx 180.55\sqrt{2}$ Н.

Работа силы тяги:

$A_F = F \cdot s \approx (180.55\sqrt{2} \text{ Н}) \cdot (20\sqrt{2} \text{ м}) = 180.55 \cdot 40 \approx 7222$ Дж.

Эту же работу можно найти из теоремы об изменении кинетической энергии: $A_{полная} = \Delta E_k$.

$A_F + A_g + A_{fr} + A_N = \frac{mv_f^2}{2}$.

Конечная скорость $v_f = at = \frac{40\sqrt{2}}{289} \cdot 17 = \frac{40\sqrt{2}}{17} \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

$\Delta E_k = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \left(\frac{40\sqrt{2}}{17}\right)^2 = 15 \cdot \frac{1600 \cdot 2}{289} = \frac{48000}{289} \approx 166.1$ Дж.

$A_F = \Delta E_k - A_g - A_{fr} - A_N = 166.1 - (-5880) - (-1176) - 0 = 7222.1$ Дж.

Ответ: $A_F \approx 7222$ Дж.