Номер 225, страница 33, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса. Реактивное движение - номер 225, страница 33.

Условие.

225. [201] Ракета массой 400 кг поднялась на высоту 1000 м. Определите скорость, с которой вылетели продукты сгорания из ракеты. Считайте, что весь запас топлива массой 20 кг сгорел мгновенно.

Решение.

Дано:

Масса ракеты (без топлива), $M_р = 400$ кг

Масса топлива, $m_т = 20$ кг

Высота подъема, $h = 1000$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Скорость продуктов сгорания, $\text{u}$

Решение:

Данную задачу можно решить, применив последовательно закон сохранения энергии и закон сохранения импульса.

1. Сначала определим начальную скорость $v_р$, которую получила ракета после сгорания топлива. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии. После получения начальной скорости ракета движется вверх, и её кинетическая энергия переходит в потенциальную. На максимальной высоте подъёма вся кинетическая энергия превратится в потенциальную:

$E_к = E_п$

$\frac{M_р v_р^2}{2} = M_р g h$

Из этого уравнения можно выразить начальную скорость ракеты $v_р$:

$v_р^2 = 2gh$

$v_р = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v_р = \sqrt{2 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1000 \, \text{м}} = \sqrt{19600 \, \text{м}^2/\text{с}^2} = 140 \, \text{м/с}$

2. Теперь применим закон сохранения импульса. В условии сказано, что топливо сгорает мгновенно. Это позволяет нам считать систему "ракета + топливо" замкнутой в момент выброса газов, так как внешние силы (сила тяжести) не успевают оказать значительного влияния. До сгорания топлива вся система покоилась, следовательно, её начальный импульс был равен нулю.

$\vec{p}_{начальный} = 0$

После сгорания топлива ракета массой $M_р$ полетела вверх со скоростью $v_р$, а продукты сгорания (газы) массой $m_т$ были выброшены вниз со скоростью $\text{u}$. Запишем закон сохранения импульса в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$0 = M_р v_р - m_т u$

Из этого соотношения выразим искомую скорость продуктов сгорания $\text{u}$:

$m_т u = M_р v_р$

$u = \frac{M_р v_р}{m_т}$

Подставим известные и вычисленные значения:

$u = \frac{400 \, \text{кг} \cdot 140 \, \text{м/с}}{20 \, \text{кг}} = 20 \cdot 140 \, \text{м/с} = 2800 \, \text{м/с}$

Ответ: скорость, с которой вылетели продукты сгорания из ракеты, равна 2800 м/с.