Номер 219, страница 33, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса. Реактивное движение - номер 219, страница 33.

Условие.

219. [195] На конце соломинки, плавающей в озере, сидит кузнечик. С какой минимальной скоростью должен прыгнуть кузнечик, чтобы оказаться на другом конце соломинки? Масса кузнечика $\text{m}$, масса соломинки $\text{M}$, а её длина $\text{l}$.

Решение.

Дано:

Масса кузнечика: $\text{m}$

Масса соломинки: $\text{M}$

Длина соломинки: $\text{l}$

Найти:

Минимальную скорость прыжка кузнечика: $v_{min}$

Решение:

Рассмотрим систему тел «кузнечик + соломинка». Поскольку соломинка плавает в озере, можно пренебречь внешними горизонтальными силами (например, сопротивлением воды). В этом случае для системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Изначально кузнечик и соломинка покоятся, поэтому их суммарный импульс равен нулю. Пусть кузнечик прыгает со скоростью $\vec{v}$ относительно соломинки под углом $\alpha$ к горизонту. Обозначим горизонтальную скорость кузнечика относительно воды (неподвижной системы отсчета) как $v_к$, а скорость соломинки относительно воды как $v_с$.

Горизонтальная составляющая скорости кузнечика относительно соломинки равна $v_x = v \cos \alpha$. Эта относительная скорость связана со скоростями тел относительно воды следующим соотношением:

$v_x = v_к - v_с$

Запишем закон сохранения импульса для горизонтальной оси. Начальный импульс системы равен нулю. Конечный импульс равен сумме импульсов кузнечика и соломинки:

$0 = m v_к + M v_с$

Мы получили систему из двух уравнений. Выразим из второго уравнения $v_с = -\frac{m}{M} v_к$ и подставим в первое:

$v_x = v_к - (-\frac{m}{M} v_к) = v_к (1 + \frac{m}{M}) = v_к \frac{m+M}{M}$

Чтобы кузнечик приземлился на другой конец соломинки, он должен за время своего полёта $\text{t}$ преодолеть расстояние $\text{l}$ по горизонтали *относительно соломинки*. Горизонтальное расстояние, которое кузнечик пролетает относительно соломинки, равно $l = v_x \cdot t$.

Время полёта $\text{t}$ определяется только вертикальной составляющей скорости прыжка, $v_y = v \sin \alpha$, и ускорением свободного падения $\text{g}$. Так как соломинка не движется по вертикали, вертикальная скорость кузнечика относительно воды совпадает с $v_y$. Время полёта тела, брошенного под углом к горизонту, вычисляется по формуле:

$t = \frac{2 v_y}{g} = \frac{2 v \sin \alpha}{g}$

Теперь подставим выражения для $v_x$ и $\text{t}$ в условие $l = v_x \cdot t$:

$l = (v \cos \alpha) \cdot \left(\frac{2 v \sin \alpha}{g}\right)$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$, упростим выражение:

$l = \frac{v^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Нам нужно найти минимальную скорость прыжка $v_{min}$. Выразим $\text{v}$ из полученной формулы:

$v = \sqrt{\frac{gl}{\sin(2\alpha)}}$

Скорость $\text{v}$ будет минимальной, когда знаменатель $\sin(2\alpha)$ будет максимальным. Максимальное значение синуса равно 1, что достигается при $2\alpha = 90^\circ$, то есть при угле прыжка $\alpha = 45^\circ$.

Таким образом, минимальная скорость прыжка, необходимая кузнечику, равна:

$v_{min} = \sqrt{\frac{gl}{1}} = \sqrt{gl}$

Ответ: $v_{min} = \sqrt{gl}$