Номер 224, страница 33, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса. Реактивное движение - номер 224, страница 33.

Условие.

224. [200] Шарик массой 10 г падает с высоты 1,8 м и упруго отскакивает от установленного на неподвижной тележке щита, плоскость которого наклонена к горизонту под углом $45^\circ$. При этом скорость шарика уменьшается в 2 раза. Масса тележки со щитом 90 г. Определите её скорость после отскока шарика. Трение не учитывайте.

Решение.

Дано:

$m_ш = 10 \text{ г}$

$h = 1.8 \text{ м}$

$\alpha = 45°$

$m_т = 90 \text{ г}$

Скорость шарика после отскока: $v_2 = v_1 / 2$

Начальная скорость тележки: $u_1 = 0$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$m_ш = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$
$m_т = 90 \text{ г} = 0.09 \text{ кг}$

Найти:

$u_2$ - скорость тележки после отскока шарика.

Решение:

1. Сначала определим скорость шарика $v_1$ в момент перед ударом о щит. Используем закон сохранения механической энергии для падающего шарика. Его начальная потенциальная энергия $E_p$ переходит в кинетическую $E_k$ непосредственно перед столкновением.

$m_ш g h = \frac{m_ш v_1^2}{2}$

Отсюда выражаем скорость $v_1$:

$v_1 = \sqrt{2gh}$

Подставляем значения:

$v_1 = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1.8 \text{ м}} = \sqrt{36 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 6 \text{ м/с}$

Вектор скорости $\vec{v_1}$ направлен вертикально вниз.

2. По условию, после отскока скорость шарика уменьшается в 2 раза. Найдем модуль скорости шарика $v_2$ сразу после отскока:

$v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{6 \text{ м/с}}{2} = 3 \text{ м/с}$

3. Теперь определим направление скорости шарика после отскока. Плоскость щита наклонена к горизонту под углом $\alpha = 45°$. Нормаль (перпендикуляр) к поверхности щита, следовательно, наклонена к вертикали под таким же углом $\alpha = 45°$. Поскольку шарик падает вертикально, угол падения $\theta_i$ (угол между вектором скорости $\vec{v_1}$ и нормалью) равен $45°$. При упругом отскоке угол отражения $\theta_r$ равен углу падения, $\theta_r = \theta_i = 45°$. Общий угол, на который отклоняется вектор скорости шарика, составляет $\theta_i + \theta_r = 45° + 45° = 90°$. Так как начальная скорость была направлена вертикально, то после отскока скорость шарика будет направлена горизонтально.

4. Рассмотрим систему, состоящую из шарика и тележки со щитом. Поскольку трение не учитывается, в горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы. Это означает, что для горизонтальной проекции импульса системы выполняется закон сохранения импульса.

Проекция импульса системы на горизонтальную ось (ось Ox) до столкновения равна нулю, так как тележка неподвижна, а шарик движется вертикально:

$P_{1x} = m_ш v_{1x} + m_т u_{1x} = m_ш \cdot 0 + m_т \cdot 0 = 0$

Сразу после столкновения шарик движется горизонтально со скоростью $v_2$, а тележка приобретает горизонтальную скорость $u_2$. По закону сохранения импульса, тележка будет двигаться в сторону, противоположную движению шарика. Проекция импульса системы на ось Ox после столкновения:

$P_{2x} = m_ш v_2 - m_т u_2$

Приравнивая импульсы системы до и после столкновения:

$P_{1x} = P_{2x}$

$0 = m_ш v_2 - m_т u_2$

Отсюда следует:

$m_т u_2 = m_ш v_2$

5. Выразим и вычислим искомую скорость тележки $u_2$:

$u_2 = \frac{m_ш v_2}{m_т}$

Подставим числовые значения в единицах СИ:

$u_2 = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с}}{0.09 \text{ кг}} = \frac{0.03}{0.09} \text{ м/с} = \frac{1}{3} \text{ м/с}$

Ответ: скорость тележки после отскока шарика равна $\frac{1}{3} \text{ м/с}$ (приблизительно $0.33 \text{ м/с}$).