Номер 227, страница 34, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса. Реактивное движение - номер 227, страница 34.

Условие.

227. [203]. На горизонтальной поверхности лежит деревянный шар, масса которого $m = 1 \text{ кг}$. Шар пробивается пулей массой $m_0 = 10 \text{ г}$, проходящей через его центр. Скорость пули до столкновения с шаром $v_0 = 300 \text{ м/с}$, а после вылета из него $v = 100 \text{ м/с}$. Коэффициент трения между поверхностью и шаром $\mu = 0,1$. Плотность дерева $\rho = 700 \text{ кг/м}^3$. С какой точностью можно считать систему шар—пуля замкнутой?

Решение.

Дано

$m = 1$ кг
$m_0 = 10$ г
$v_0 = 300$ м/с
$v = 100$ м/с
$\mu = 0.1$
$\rh°= 700$ кг/м³

$m_0 = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.01$ кг

Найти:

Точность, с которой систему можно считать замкнутой.

Решение

Система «шар—пуля» не является абсолютно замкнутой, так как во время взаимодействия (прохождения пули через шар) на систему действует внешняя горизонтальная сила — сила трения скольжения $F_{тр}$ со стороны поверхности. Вертикальные силы (сила тяжести и сила нормальной реакции опоры) скомпенсированы.

Точность, с которой можно считать систему замкнутой, определяется отношением импульса внешней силы $\Delta P_{ext}$, действующей за время столкновения $\Delta t$, к начальному импульсу системы $P_{initial}$. Обозначим эту относительную погрешность как $\varepsilon$.

$\varepsilon = \frac{|\Delta P_{ext}|}{|P_{initial}|}$

Начальный импульс системы равен импульсу пули до столкновения, так как шар покоился:

$P_{initial} = m_0 v_0 = 0.01 \text{ кг} \cdot 300 \text{ м/с} = 3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Импульс внешней силы трения равен произведению силы трения на время ее действия:

$\Delta P_{ext} = F_{тр} \cdot \Delta t$

Сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N$. Поскольку шар лежит на горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции $\text{N}$ равна силе тяжести шара $mg$ (весом пули можно пренебречь). Примем $g \approx 9.8$ м/с².

$F_{тр} = \mu mg = 0.1 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 0.98 \text{ Н}$

Время взаимодействия $\Delta t$ — это время, за которое пуля проходит сквозь шар. Путь пули внутри шара равен его диаметру $D = 2R$. Найдем радиус шара $\text{R}$ из его массы $\text{m}$ и плотности $\rho$.

Объем шара: $V = \frac{m}{\rho}$. С другой стороны, $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Приравнивая выражения для объема, находим радиус:

$\frac{m}{\rho} = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies R = \sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\rho}}$

$R = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 1 \text{ кг}}{4 \pi \cdot 700 \text{ кг/м}^3}} \approx \sqrt[3]{\frac{3}{8796}} \approx 0.070 \text{ м}$

Диаметр шара: $D = 2R \approx 0.140 \text{ м}$.

Для нахождения времени $\Delta t$ предположим, что пуля двигалась внутри шара с постоянным ускорением (равнозамедленно). Тогда ее средняя скорость $v_{ср}$ на этом пути равна:

$v_{ср} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{300 \text{ м/с} + 100 \text{ м/с}}{2} = 200 \text{ м/с}$

Время прохождения пули через шар:

$\Delta t = \frac{D}{v_{ср}} = \frac{0.140 \text{ м}}{200 \text{ м/с}} = 0.0007 \text{ с} = 7 \cdot 10^{-4} \text{ с}$

Теперь можем найти импульс внешней силы трения:

$\Delta P_{ext} = F_{тр} \cdot \Delta t = 0.98 \text{ Н} \cdot 7 \cdot 10^{-4} \text{ с} \approx 6.86 \cdot 10^{-4} \text{ Н} \cdot \text{с}$

Наконец, оценим точность:

$\varepsilon = \frac{\Delta P_{ext}}{P_{initial}} = \frac{6.86 \cdot 10^{-4}}{3} \approx 2.29 \cdot 10^{-4}$

В процентах это составляет примерно $0.023\%$. Это относительное изменение импульса системы под действием внешних сил очень мало, следовательно, закон сохранения импульса для данной системы выполняется с высокой точностью.

Ответ: Систему «шар—пуля» можно считать замкнутой с точностью, при которой изменение импульса системы из-за внешних сил составляет около $2.3 \cdot 10^{-4}$ (или $0.023\%$) от начального импульса. Это означает, что закон сохранения импульса выполняется с очень высокой точностью.