Номер 234, страница 35, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы. Мощность - номер 234, страница 35.

Условие.

234. [210] Мальчик везёт на ледяную горку санки массой $5 \text{ кг}$ со скоростью $1 \text{ м/с}$. Угол у основания горки $30^{\circ}$, угол между поверхностью горки и верёвкой $45^{\circ}$. Коэффициент трения между полозьями санок и поверхностью горки $0,05$. Какую мощность развивает при этом мальчик?

Решение.

Дано:

$m = 5$ кг

$v = 1$ м/с

$\alpha = 30^\circ$

$\beta = 45^\circ$

$\mu = 0,05$

$g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

$\text{P}$ - ?

Решение:

Мощность, развиваемая мальчиком, определяется как работа, совершаемая им в единицу времени. Работа совершается силой натяжения верёвки $F_т$. Мощность можно рассчитать по формуле $P = \vec{F_т} \cdot \vec{v} = F_т \cdot v \cdot \cos\beta$, где $\text{v}$ – скорость санок, а $\beta$ – угол между вектором силы натяжения и вектором скорости (направленным вдоль поверхности горки).

Поскольку санки движутся с постоянной скоростью, их ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, приложенных к санкам, равна нулю. Введём систему координат: ось $OX$ направим вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $OY$ – перпендикулярно ей.

На санки действуют следующие силы:

- Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз.

- Сила натяжения верёвки $F_т$, направленная под углом $\beta$ к наклонной плоскости.

- Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.

- Сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная против движения, то есть вниз вдоль наклонной плоскости.

Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $OY$: $N + F_{т} \sin\beta - mg \cos\alpha = 0$

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos\alpha - F_{т} \sin\beta$

Проекция на ось $OX$: $F_{т} \cos\beta - mg \sin\alpha - F_{тр} = 0$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры соотношением $F_{тр} = \mu N$. Подставим выражение для $\text{N}$:

$F_{тр} = \mu (mg \cos\alpha - F_{т} \sin\beta)$

Теперь подставим это выражение для силы трения в уравнение для оси $OX$:

$F_{т} \cos\beta - mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha - F_{т} \sin\beta) = 0$

Раскроем скобки и выразим силу натяжения $F_т$:

$F_{т} \cos\beta - mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha + \mu F_{т} \sin\beta = 0$

$F_{т}(\cos\beta + \mu \sin\beta) = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha$

$F_{т} = \frac{mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}{\cos\beta + \mu \sin\beta}$

Теперь мы можем найти мощность, подставив найденное выражение для $F_т$ в исходную формулу для мощности $P = F_т \cdot v \cdot \cos\beta$:

$P = \frac{mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}{\cos\beta + \mu \sin\beta} \cdot v \cos\beta = \frac{mgv \cos\beta (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}{\cos\beta + \mu \sin\beta}$

Подставим числовые значения:

$\sin30^\circ = 0,5$

$\cos30^\circ \approx 0,866$

$\sin45^\circ = \cos45^\circ \approx 0,707$

$P = \frac{5 \cdot 9,8 \cdot 1 \cdot \cos45^\circ (\sin30^\circ + 0,05 \cdot \cos30^\circ)}{\cos45^\circ + 0,05 \cdot \sin45^\circ}$

$P = \frac{49 \cdot 0,707 \cdot (0,5 + 0,05 \cdot 0,866)}{0,707 + 0,05 \cdot 0,707} = \frac{49 \cdot 0,707 \cdot (0,5 + 0,0433)}{0,707(1 + 0,05)}$

$P = \frac{49 \cdot 0,5433}{1,05} \approx \frac{26,6217}{1,05} \approx 25,35$ Вт

Ответ: развиваемая мальчиком мощность составляет примерно 25,35 Вт.