Номер 233, страница 34, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы. Мощность - номер 233, страница 34.

Условие.

233. [209] Два одинаковых груза поднимают на высоту $\text{h}$. Один груз тянут равномерно на веревке вертикально вверх, другой также на веревке равномерно тянут по наклонной плоскости, которая составляет с горизонтом угол $60^\circ$. Во сколько раз различаются работы сил натяжения веревок при подъеме грузов? Трение не учитывайте.

Решение.

Дано:

$m_1 = m_2 = m$ — массы грузов

$\text{h}$ — высота подъема

$v = \text{const}$ — движение равномерное

$\alpha = 60^\circ$ — угол наклона плоскости

Трение отсутствует.

Найти:

$\frac{A_1}{A_2}$ — отношение работ сил натяжения.

Решение:

Работа, совершаемая силой, вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos(\beta)$, где $\text{F}$ — модуль силы, $\text{s}$ — модуль перемещения, а $\beta$ — угол между направлением силы и направлением перемещения.

1. Рассмотрим первый случай: подъем груза вертикально вверх.

Поскольку груз поднимают равномерно, его ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к грузу, равна нулю. На груз действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила натяжения веревки $T_1$, направленная вверх. Таким образом, сила натяжения уравновешивает силу тяжести:

$T_1 = mg$

Перемещение груза $s_1$ равно высоте подъема $\text{h}$. Сила натяжения $T_1$ сонаправлена с перемещением, поэтому угол между ними $\beta = 0^\circ$, и $\cos(0^\circ) = 1$.

Работа силы натяжения в первом случае равна:

$A_1 = T_1 \cdot s_1 = mg \cdot h$

2. Рассмотрим второй случай: подъем груза по наклонной плоскости.

Груз движется равномерно, следовательно, равнодействующая сил равна нулю. На груз действуют сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила натяжения веревки $T_2$. Сила натяжения $T_2$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх. Она уравновешивает проекцию силы тяжести на наклонную плоскость.

Проекция силы тяжести на направление движения (вдоль плоскости вниз) равна $mg \sin(\alpha)$. Значит, сила натяжения равна:

$T_2 = mg \sin(\alpha)$

Перемещение груза $s_2$ происходит вдоль наклонной плоскости. Оно связано с высотой подъема $\text{h}$ и углом наклона $\alpha$ через соотношение в прямоугольном треугольнике:

$s_2 = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Сила натяжения $T_2$ сонаправлена с перемещением $s_2$, поэтому угол между ними $\beta = 0^\circ$.

Работа силы натяжения во втором случае равна:

$A_2 = T_2 \cdot s_2 = (mg \sin(\alpha)) \cdot \left(\frac{h}{\sin(\alpha)}\right) = mgh$

3. Сравним работы.

Мы видим, что работа в первом случае $A_1 = mgh$ и работа во втором случае $A_2 = mgh$ равны.

Найдем их отношение:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{mgh}{mgh} = 1$

Этот результат также следует из закона сохранения энергии. Так как в обоих случаях движение равномерное (кинетическая энергия не меняется) и трение отсутствует, работа силы натяжения идет только на увеличение потенциальной энергии груза. Поскольку массы грузов и высота подъема одинаковы, изменение потенциальной энергии $\Delta E_p = mgh$ в обоих случаях одинаково. Следовательно, и работы сил натяжения равны.

Ответ: Работы сил натяжения веревок в обоих случаях одинаковы, их отношение равно 1.