Номер 237, страница 35, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы. Мощность - номер 237, страница 35.

Условие.

237. [213] Мощность двигателя подъёмного крана 4,4 кВт. Какой груз можно поднять с помощью этого крана на высоту 12 м за 0,5 мин? КПД двигателя 80 %. Движение груза считайте равноускоренным.

Решение.

Дано:

Мощность двигателя, $P_{двиг} = 4,4 \text{ кВт} = 4400 \text{ Вт}$

Высота подъема, $h = 12 \text{ м}$

Время подъема, $t = 0,5 \text{ мин} = 30 \text{ с}$

КПД двигателя, $\eta = 80 \% = 0,8$

Движение равноускоренное, начальная скорость $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Массу груза, $\text{m}$

Решение:

Полная работа, совершаемая двигателем крана за время $\text{t}$, вычисляется по формуле:

$A_{полн} = P_{двиг} \cdot t$

Полезная работа $A_{полезн}$, которая идет непосредственно на подъем груза, определяется через коэффициент полезного действия (КПД) $\eta$:

$A_{полезн} = \eta \cdot A_{полн} = \eta \cdot P_{двиг} \cdot t$

Эта полезная работа расходуется на увеличение потенциальной энергии груза ($\Delta E_p$) при подъеме на высоту $\text{h}$ и на увеличение его кинетической энергии ($\Delta E_k$), так как по условию движение является равноускоренным. Таким образом, по закону сохранения энергии:

$A_{полезн} = \Delta E_p + \Delta E_k$

Изменение потенциальной энергии равно $\Delta E_p = mgh$.

Изменение кинетической энергии равно $\Delta E_k = \frac{mv_f^2}{2}$, где $v_f$ — конечная скорость груза (так как начальная скорость $v_0 = 0$).

Следовательно, получаем уравнение:

$A_{полезн} = mgh + \frac{mv_f^2}{2}$

Для равноускоренного движения из состояния покоя пройденный путь (высота $\text{h}$) и конечная скорость $v_f$ связаны со временем $\text{t}$ следующими соотношениями:

$h = \frac{at^2}{2}$ и $v_f = at$

Из этих двух формул выразим конечную скорость $v_f$ через высоту $\text{h}$ и время $\text{t}$, исключив ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{2h}{t^2} \implies v_f = \frac{2h}{t^2} \cdot t = \frac{2h}{t}$

Теперь приравняем два выражения для полезной работы и подставим выражение для конечной скорости:

$\eta P_{двиг} t = mgh + \frac{m(\frac{2h}{t})^2}{2} = mgh + \frac{m \cdot 4h^2}{2t^2} = m(gh + \frac{2h^2}{t^2})$

Из этого уравнения выразим искомую массу $\text{m}$:

$m = \frac{\eta P_{двиг} t}{gh + \frac{2h^2}{t^2}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$m = \frac{0,8 \cdot 4400 \text{ Вт} \cdot 30 \text{ с}}{9,8 \frac{м}{с^2} \cdot 12 \text{ м} + \frac{2 \cdot (12 \text{ м})^2}{(30 \text{ с})^2}} = \frac{105600}{117,6 + \frac{2 \cdot 144}{900}} = \frac{105600}{117,6 + \frac{288}{900}} = \frac{105600}{117,6 + 0,32} = \frac{105600}{117,92} \approx 895,5 \text{ кг}$

Округлив результат, получаем:

Ответ: масса груза, который можно поднять, составляет приблизительно $896 \text{ кг}$.