Номер 240, страница 35, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы. Мощность - номер 240, страница 35.

Условие.

240. H Бревно длиной 3 м и площадью по-перечного сечения $200 \text{ см}^2$ погружают в воду в вертикальном положении (рис. 46). Определите работу, которую совершает выталкивающая сила при полном погружении бревна.

Решение.

Дано:

Длина бревна, $L = 3$ м

Площадь поперечного сечения, $S = 200$ см²

Плотность воды, $\rh°\approx 1000$ кг/м³

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ Н/кг

Перевод в систему СИ:

$S = 200 \text{ см}^2 = 200 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 200 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,02 \text{ м}^2$

Найти:

Работу выталкивающей силы, $\text{A}$ - ?

Решение:

Выталкивающая сила (сила Архимеда) зависит от объема погруженной части тела и вычисляется по формуле:

$F_A = \rh°\cdot g \cdot V_{погр}$

где $\rho$ - плотность жидкости, $\text{g}$ - ускорение свободного падения, $V_{погр}$ - объем погруженной части тела.

При вертикальном погружении бревна на глубину $\text{h}$, объем его погруженной части равен $V_{погр} = S \cdot h$, где $\text{S}$ - площадь поперечного сечения.

Таким образом, выталкивающая сила является переменной величиной, линейно зависящей от глубины погружения $\text{h}$:

$F_A(h) = \rh°\cdot g \cdot S \cdot h$

В начальный момент, когда бревно только касается воды, глубина погружения $h=0$ и выталкивающая сила $F_A(0) = 0$.

В конечный момент, когда бревно полностью погружено, глубина погружения равна его длине $h=L$, и выталкивающая сила достигает своего максимального значения:

$F_{A,max} = \rh°\cdot g \cdot S \cdot L$

Работу переменной силы, которая изменяется линейно, можно вычислить как произведение средней силы на перемещение. Графически эта работа равна площади под графиком зависимости силы от перемещения.

Средняя выталкивающая сила за время полного погружения равна:

$F_{ср} = \frac{F_{A,min} + F_{A,max}}{2} = \frac{0 + \rh°g S L}{2} = \frac{1}{2} \rh°g S L$

Перемещение, на котором действует эта сила, равно длине бревна $\text{L}$. Тогда работа выталкивающей силы:

$A = F_{ср} \cdot L = \left(\frac{1}{2} \rh°g S L\right) \cdot L = \frac{1}{2} \rh°g S L^2$

Этот же результат можно получить, если учесть, что работа силы Архимеда равна произведению ее максимального значения на перемещение центра плавучести (центра масс вытесненной жидкости). При полном погружении центр плавучести перемещается на $L/2$.

$A = F_{A,max} \cdot \frac{L}{2} = (\rh°g S L) \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{2} \rh°g S L^2$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$A = \frac{1}{2} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0,02 \text{ м}^2 \cdot (3 \text{ м})^2$

$A = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,02 \cdot 9 = 500 \cdot 9,8 \cdot 0,02 \cdot 9 = 10 \cdot 9,8 \cdot 9 = 98 \cdot 9 = 882$ (Дж)

Ответ: работа, которую совершает выталкивающая сила при полном погружении бревна, равна 882 Дж.