Номер 242, страница 36, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Кинетическая энергия и её изменение - номер 242, страница 36.

Условие.

242. [217] Определите скорость тела, соскальзывающего с высоты $\text{h}$ по наклонной плоскости. Угол, который плоскость составляет с горизонтом, $\alpha$, коэффициент трения тела о плоскость $\mu$.

Решение.

Дано:
Высота наклонной плоскости: $\text{h}$
Угол наклона плоскости к горизонту: $\alpha$
Коэффициент трения скольжения: $\mu$
Начальная скорость тела: $v_0 = 0$

Найти:
Скорость тела у основания наклонной плоскости: $\text{v}$

Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся законом изменения механической энергии. Согласно этому закону, изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил, в данном случае, работы силы трения.
$\Delta E = A_{тр}$
$E_{кон} - E_{нач} = A_{тр}$
В начальный момент времени тело находится на высоте $\text{h}$ и покоится, поэтому его полная механическая энергия равна потенциальной энергии:
$E_{нач} = E_{п} = mgh$, где $\text{m}$ – масса тела, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.
В конечный момент времени, у основания наклонной плоскости (примем этот уровень за нулевой), тело обладает скоростью $\text{v}$, и его полная механическая энергия равна кинетической энергии:
$E_{кон} = E_{к} = \frac{1}{2}mv^2$
Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения, и вычисляется по формуле:
$A_{тр} = -F_{тр} \cdot L$, где $F_{тр}$ – сила трения, а $\text{L}$ – длина наклонной плоскости.
Сила трения равна $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ – сила нормальной реакции опоры. Спроецировав силы на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, получим $N = mg \cos(\alpha)$. Таким образом, сила трения:
$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$
Длину наклонной плоскости $\text{L}$ выразим через высоту $\text{h}$ и угол $\alpha$ из прямоугольного треугольника:
$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$, откуда $L = \frac{h}{\sin(\alpha)}$
Теперь можем найти работу силы трения:
$A_{тр} = -(\mu mg \cos(\alpha)) \cdot \frac{h}{\sin(\alpha)} = -\mu mgh \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -\mu mgh \cot(\alpha)$
Подставим все полученные выражения в закон изменения энергии:
$\frac{1}{2}mv^2 - mgh = -\mu mgh \cot(\alpha)$
Выразим кинетическую энергию:
$\frac{1}{2}mv^2 = mgh - \mu mgh \cot(\alpha)$
Сократим массу $\text{m}$ (она не влияет на конечный результат) и вынесем $gh$ за скобки:
$\frac{1}{2}v^2 = gh(1 - \mu \cot(\alpha))$
Найдём квадрат скорости:
$v^2 = 2gh(1 - \mu \cot(\alpha))$
И, наконец, искомую скорость, взяв квадратный корень:
$v = \sqrt{2gh(1 - \mu \cot(\alpha))}$

Ответ: $v = \sqrt{2gh(1 - \mu \cot(\alpha))}$